Задание на алгебраическое дополнение

Условие:

Решение:

Предмет: Линейная алгебра, раздел - Матрицы. Мы имеем задание найти алгебраическое дополнение \( A_{32}^{3} \) минора \( M_{32}^{3} \) матрицы \( A \). Верхние индексы номера строк, нижние индексы номера столбцов. Матрица \( A \) представлена как: \[ A = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -5 & 4 & 2 \\ -1 & 4 & -1 & 5 \\ \end{pmatrix} \] Шаги решения: 1. **Определение минора \( M_{32}^{3} \):** Найдём минор матрицы \( A \), который получается, если вычеркнуть строку 3 и столбец 2: \[ M_{32}^{3} = \text{Det}\begin{pmatrix} 7 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 5 \\ \end{pmatrix} \] 2. **Вычисление определителя минора:** Рассчитаем определитель 3x3 матрицы. Для этого воспользуемся методом по строке (например, первой строке): \[ \text{Det}(M_{32}^{3}) = 7 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \] 3. **Вычисление определителей меньших матриц 2x2:** \[ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (0 \cdot 5) - (3 \cdot -1) = 3 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (2 \cdot 5) - (3 \cdot -1) = 10 + 3 = 13 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot -1) - (0 \cdot -1) = -2 \] 4. **Подставим значения:** \[ \text{Det}(M_{32}^{3}) = 7 \cdot 3 - 5 \cdot 13 + (-1) \cdot (-2) \] \[ = 21 - 65 + 2 = -42 \] Минор \( M_{32}^{3} = -42 \). 5. **Найти алгебраическое дополнение** \( A_{32}^{3} \): Алгебраическое дополнение определяется как: \[ A_{ij}^{k} = (-1)^{i+j} \cdot \text{Det}(M_{ij}^{k}) \] Подставим наши значения \( i = 3 \), \( j = 2 \): \[ A_{32}^{3} = (-1)^{3+2} \cdot (-42) = (-1)^{5} \cdot (-42) = -1 \cdot (-42) = 42 \] Ответ: Алгебраическое дополнение \( A_{32}^{3} \) минора \( M_{32}^{3} \) равно \( 42 \).