Задача с собственными векторами и собственными значениями матрицы

Это задание по линейной алгебре, а конкретно — работа с собственными векторами и собственными значениями матрицы.

Объяснение процесса решения:

1. Поиск собственных векторов: Собственные векторы находятся из уравнения: [(A - \lambda I)v = 0] Здесь \(A\) — исходная матрица, \(\lambda\) — собственное значение, \(I\) — единичная матрица, \(v\) — собственный вектор. В нашем случае \(\lambda = 2\), значит нужно найти собственный вектор для этого значения.
2. Подставляем \(\lambda = 2\) в уравнение: Уравнение принимает вид: [(A - 2I)v = 0] Матрица \(A\) дана как: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) Единичная матрица \(I\) для размера 2x2 это: \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) Теперь вычисляем матрицу \(A - 2I\): \( A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 1 \\ 2 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)
3. Записываем матричное уравнение: \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
4. Решаем систему линейных уравнений: У нас есть система уравнений: \( 0x + 1y = 0 \quad \Rightarrow y = 0 \) \( 2x - 1y = 0 \quad \Rightarrow 2x = y \quad \Rightarrow y = 2x \) Итак, заменяя \(y = 2x\) в первом уравнении, мы видим, что она удовлетворяет оба уравнения. Таким образом уравнение решено и получаем: \( v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \) где \(k\) — любая константа. Так как собственный вектор определяется с точностью до множителя, мы можем выбрать \(k = 1\): \( v = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \) Поэтому собственный вектор \(v\) для собственного значения \(\lambda = 2\) это: \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \)