Задача с собственными векторами и собственными значениями матрицы

Условие:

Решение:

Это задание по линейной алгебре, а конкретно — работа с собственными векторами и собственными значениями матрицы. **Объяснение процесса решения:** 1. **Поиск собственных векторов:** Собственные векторы находятся из уравнения: \[(A - \lambda I)v = 0\] Здесь \(A\) — исходная матрица, \(\lambda\) — собственное значение, \(I\) — единичная матрица, \(v\) — собственный вектор. В нашем случае \(\lambda = 2\), значит нужно найти собственный вектор для этого значения. 2. **Подставляем \(\lambda = 2\) в уравнение:** Уравнение принимает вид: \[(A - 2I)v = 0\] Матрица \(A\) дана как: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Единичная матрица \(I\) для размера 2x2 это: \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь вычисляем матрицу \(A - 2I\): \[ A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 1 \\ 2 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] 3. **Записываем матричное уравнение:** \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] 4. **Решаем систему линейных уравнений:** У нас есть система уравнений: \[ 0x + 1y = 0 \quad \Rightarrow y = 0 \] \[ 2x - 1y = 0 \quad \Rightarrow 2x = y \quad \Rightarrow y = 2x \] Итак, заменяя \(y = 2x\) в первом уравнении, мы видим, что она удовлетворяет оба уравнения. Таким образом уравнение решено и получаем: \[ v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \] где \(k\) — любая константа. Так как собственный вектор определяется с точностью до множителя, мы можем выбрать \(k = 1\): \[ v = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \] Поэтому собственный вектор \(v\) для собственного значения \(\lambda = 2\) это: \[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]