Задача по теме линейные преобразования и собственные пространства

Условие:

Реши задачу и подробно распиши решение

Решение:

### Определение предмета и раздела Полученное задание относится к предмету: **Линейная алгебра.** Раздел: **Линейные преобразования и собственные пространства.** ### Условие задачи В трехмерном линейном пространстве линейное преобразование \( \varphi \) задается матрицей \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Необходимо найти базисы и размерности ядра и образа этого преобразования. ### Решение #### Шаг 1: Найти базис ядра преобразования (Null Space) Для начала определим ядро (нулевое пространство) линейного преобразования \( \varphi \), которое представляется матрицей \( A \). Ядро — это множество всех векторов \( \vec{v} \), таких что \( A\vec{v} = 0 \). Для этого нам нужно решить однородную систему уравнений \( A\vec{x} = 0 \). \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \] Применим методы для нахождения решения данной системы уравнений, например, метод Гаусса. Начнем с прямого хода метода Гаусса. \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 1 & 1 & | & 0 \\ -1 & -1 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \] Преобразуем систему к ступенчатому виду. Начнем с первой строки. Добавим первую строку ко второй и третьей: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 \\ 0 & -2 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \] Теперь добавим вторую строку к третьей, предварительно умножив вторую строку на 1/2: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -2 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \] Теперь в обратном ходе: 4-ю строку делим на 4: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \] После обратного хода: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \] Находим x: \( x_3 = 0 \) \\ \( x_2 + x_3 = 0 \rightarrow x_2 = 0 \) \\ \( x_1 + x_2 = 0 \rightarrow x_1 = 0 \) Таким образом, ядро состоит только из нулевого вектора, т.е. размерность ядра (nullity) равна 0. #### Шаг 2: Найти базис образа преобразования (Column Space) Для нахождения базиса образа преобразования нужно определить линейно независимые столбцы матрицы \( A \). Матрица \( A \) в ступенчатом виде: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Таким образом, все три столбца являются линейно независимыми и образуют базис образа, т.е. размерность образа (rank) равна 3, и базис образа состоит из векторов: \[ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \] ### Ответ 1. Базис ядра: отсутствует (ядро равно нулевому вектору), размерность ядра = 0. 2. Базис образа: \( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \), размерность образа = 3. Способы проверки: можно использовать другие методы, например, нахождение базиса через RREF (Reduced Row Echelon Form) или другие подходящие алгебраические техники.