Задача по теме линейные преобразования и собственные пространства

Определение предмета и раздела

Полученное задание относится к предмету: Линейная алгебра.
Раздел: Линейные преобразования и собственные пространства.

Условие задачи

В трехмерном линейном пространстве линейное преобразование \( \varphi \) задается матрицей \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

Необходимо найти базисы и размерности ядра и образа этого преобразования.

Решение

Шаг 1: Найти базис ядра преобразования (Null Space)

Для начала определим ядро (нулевое пространство) линейного преобразования \( \varphi \), которое представляется матрицей \( A \). Ядро — это множество всех векторов \( \vec{v} \), таких что \( A\vec{v} = 0 \). Для этого нам нужно решить однородную систему уравнений \( A\vec{x} = 0 \).

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \]

Применим методы для нахождения решения данной системы уравнений, например, метод Гаусса. Начнем с прямого хода метода Гаусса.

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 1 & 1 & | & 0 \\ -1 & -1 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Преобразуем систему к ступенчатому виду. Начнем с первой строки. Добавим первую строку ко второй и третьей:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 \\ 0 & -2 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Теперь добавим вторую строку к третьей, предварительно умножив вторую строку на 1/2:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -2 & 2 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Теперь в обратном ходе: 4-ю строку делим на 4:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

После обратного хода:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \]

Находим x:

\( x_3 = 0 \)
\( x_2 + x_3 = 0 \rightarrow x_2 = 0 \)
\( x_1 + x_2 = 0 \rightarrow x_1 = 0 \)

Таким образом, ядро состоит только из нулевого вектора, т.е. размерность ядра (nullity) равна 0.

Шаг 2: Найти базис образа преобразования (Column Space)

Для нахождения базиса образа преобразования нужно определить линейно независимые столбцы матрицы \( A \). Матрица \( A \) в ступенчатом виде:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

Таким образом, все три столбца являются линейно независимыми и образуют базис образа, т.е. размерность образа (rank) равна 3, и базис образа состоит из векторов:

\[ \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \]

Ответ

1. Базис ядра: отсутствует (ядро равно нулевому вектору), размерность ядра = 0.
2. Базис образа: \( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \), размерность образа = 3. Способы проверки: можно использовать другие методы, например, нахождение базиса через RREF (Reduced Row Echelon Form) или другие подходящие алгебраические техники.