Этот предмет - линейная алгебра, подраздел - вычисление ранга матрицы.
Для поиска ранга матрицы сначала приведем её к ступенчатому виду (метод прямоугольной матрицы, метод Гаусса). Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & -1 \\ -3 & -8 & 8 & m \end{pmatrix} \]
Начнем с преобразований:
- Поменяем местами первую и вторую строки (чтобы строка, начинающаяся с ненулевого элемента, была первой): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -3 & 4 & -1 \\ -3 & -8 & 8 & m \end{pmatrix} \]
- Умножим первую строку на \( \frac{1}{3} \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -3 & 4 & -1 \\ -3 & -8 & 8 & m \end{pmatrix} \]
- Добавим к третьей строке первую строку, умноженную на 3 / вычтем третью строку, умноженную на \( -3 \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -3 & 4 & -1 \\ 0 & -6 & 8 & m + 1 \end{pmatrix} \]
- Теперь добавим вторую строку, умноженную на 2, к третьей строке для того, чтобы привести элемент \( (3, 2) \) к нулю: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -3 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 16 & (m + 1) - 2 \end{pmatrix} \]
- Преобразуем третью строку, умножив ее на \( \frac{1}{16} \), чтобы коэффициент 16 стал 1: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & -3 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{m - 1}{16} \end{pmatrix} \]
Теперь наша матрица представлена в ступенчатом виде. Видно, что все строки содержат ненулевые элементы, так что для всех значений \(m\), матрица имеет три линейно независимых строки. Следовательно, ранг матрицы равен 3.
Ответ: Ранг матрицы \( A \) равен 3.