Задача на вычисление комплексных чисел

Эта задача относится к теме "Комплексные числа" из раздела "Алгебра". Давайте решим ее пошагово:

Задана задача: \[ \sqrt[3]{\frac{-27 (1 - i)}{1 + i}} \]

1. Сначала сократим выражение под корнем: \[ \frac{-27 (1 - i)}{1 + i} \]
2. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к \( 1 + i \), то есть на \( 1 - i \): \[ \frac{-27 (1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} \]
3. Перемножим в числителе и знаменателе:
   • Числитель: \[ -27 (1 - i)(1 - i) = -27 (1 - 2i + i^2) = -27 (1 - 2i - 1) = -27 (-2i) = 54i \]
   • Знаменатель: \[ (1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \]
   Таким образом, выражение упрощается до: \[ \frac{54i}{2} = 27i \]
4. Теперь найдем кубический корень: \[ \sqrt[3]{27i} \] Перейдем к полярной форме комплексного числа. Запишем \( 27i \) в виде \( z = re^{i\theta} \), где \( r = |27i| = 27 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \) (так как аргумент 27i равен \( \frac{\pi}{2} \)). \[ 27i = 27 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) \] Нам нужно найти кубический корень из этого числа: \[ \sqrt[3]{27} \cdot e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)/3} \] где \( r = \sqrt[3]{27} = 3 \) и \( \theta = \frac{\pi/6} + \frac{2k\pi}{3} \). Подставим разные значения \( k \):
   1. \( k = 0 \): \[ z_0 = 3 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = 3 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i \]
   2. \( k = 1 \): \[ z_1 = 3 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 3 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2} \right) = - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i \]
   3. \( k = 2 \): \[ z_2 = 3 \left( \cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}/6 \]= 3 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \cdot \frac{1}{2} \right) = - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3}/2}/i \]
   Таким образом, решения уравнения: \[ z_0 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}/2}//i \], \[ z_1 = - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}/2}/i \], \[ z_2 = - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3}/2}/i \] Эти три числа являются всеми возможными кубическими корнями данного выражения.