Задача на тему действие линейного оператора на квадратичную форму

Условие:

Решение:

Предмет данного задания - линейная алгебра, а конкретно тема - действие линейного оператора на квадратичную форму. Дано: Квадратичная форма \( x_1^2 - 4x_1x_2 - x_2^2 \) и матрица линейного оператора \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \). Чтобы определить, как изменится квадратичная форма под действием этого линейного оператора, необходимо: 1. Построить новый базис, умножив исходные переменные \(x_1\) и \(x_2\) на матрицу оператора, получая новые переменные \(y_1\) и \(y_2\). 2. Выразить трансформацию квадратичной формы в новых переменных. Шаг 1. Преобразование базиса: Пусть новые переменные \( y_1 \) и \( y_2 \) определяются следующим образом: \[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \] То есть: \[ y_1 = 2x_1 + x_2 \] \[ y_2 = 2x_1 + 3x_2 \] Теперь нужно выразить \(x_1\) и \(x_2\) через \(y_1\) и \(y_2\). Шаг 2. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} y_1 = 2x_1 + x_2 \\ y_2 = 2x_1 + 3x_2 \end{cases} \] Используем метод алгебраического исключения. Выразим \(x_2\) через \(y_1\) и \(x_1\): \[ x_2 = y_1 - 2x_1 \] Подставим это уравнение во второе: \[ y_2 = 2x_1 + 3(y_1 - 2x_1) \] \[ y_2 = 2x_1 + 3y_1 - 6x_1 \] \[ y_2 = 3y_1 - 4x_1 \] \[ 4x_1 = 3y_1 - y_2 \] \[ x_1 = \frac{3y_1 - y_2}{4} \] Подставляем \(x_1\) в уравнение \( x_2 = y_1 - 2x_1 \): \[ x_2 = y_1 - 2\left(\frac{3y_1 - y_2}{4}\right) \] \[ x_2 = y_1 - \frac{6y_1 - 2y_2}{4} \] \[ x_2 = y_1 - \frac{3y_1 - y_2}{2} \] \[ x_2 = y_1 - \frac{3y_1}{2} + \frac{y_2}{2} \] \[ x_2 = \frac{2y_1}{2} - \frac{3y_1}{2} + \frac{y_2}{2} \] \[ x_2 = -\frac{y_1}{2} + \frac{y_2}{2} \] Теперь подставляем \( x_1 \) и \( x_2 \) в исходную квадратичную форму: \[ x_1^2 = \left(\frac{3y_1 - y_2}{4}\right)^2 \] \[ x_1^2 = \frac{(3y_1 - y_2)^2}{16} \] \[ x_1^2 = \frac{9y_1^2 - 6y_1y_2 + y_2^2}{16}\] \[ x_2^2 = \left(-\frac{y_1}{2} + \frac{y_2}{2}\right)^2 \] \[ x_2^2 = \frac{(y_2 - y_1)^2}{4} \] \[ x_2^2 = \frac{y_2^2 - 2y_1y_2 + y_1^2}{4} \] \[ -4x_1x_2 = -4 \left(\frac{3y_1 - y_2}{4}\right)\left(-\frac{y_1}{2} + \frac{y_2}{2}\right) \] \[ x_1x_2 = \left(\frac{3y_1 - y_2}{2}\right)(-y_1 + y_2)\] \[ -4x_1x_2 =-(3y_1^2 - 3y_1y_2 - y_2y_1 + y_2^2) \] Подставляем все выражения в квадратичную форму: \[ x_1^2 - 4x_1x_2 - x_2^2 = \left(\frac{9y_1^2 - 6y_1y_2 + y_2^2}{16}\right) - (3y_1^2 - 3y_1y_2 - y_2y_1 + y_2^2) -\frac{y_2 - y_1^2}{4} \] Решив данное выражение приходим к выражению: \[ -y_1^2 -11y_1y_2 + 7y_2^2\]