Задача на тему билинейных форм и скалярного произведения в трехмерном линейном пространстве

Задача относится к разделу линейной алгебры, а именно к изучению билинейных форм и скалярного произведения в трехмерном линейном пространстве.

Для формирования скалярного произведения в трехмерном пространстве (для векторов $\text{(}\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\text{)}$ и $\text{(}\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\text{)}$), билинейная форма должна быть симметричной и определяться как: $\text{[}⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3\text{]}$

Давайте проанализируем каждую из предложенных билинейных форм:

1. $\text{(}{x}_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_1{y}_3+x_3{y}_1+3x_2{y}_2+4x_3{y}_3\text{)}$:
   • Форма не симметрична (например, коэффициенты при $\text{(}{x}_1{y}_2\text{)}$ и $\text{(}{x}_2{y}_1\text{)}$ различны).
2. $\text{(}{x}_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_1{y}_3+x_3{y}_1-3x_2{y}_2+4x_3{y}_3\text{)}$:
   • Форма не симметрична (например, коэффициенты при $\text{(}{x}_1{y}_2\text{)}$ и $\text{(}{x}_2{y}_1\text{)}$ различны).
3. $\text{(}4x_1{y}_1+2x_1{y}_3+2x_3{y}_1+5x_2{y}_2+4x_3{y}_3\text{)}$:
   • Форма симметрична и подходяща для билинейной формы.
   • Условия симметрии: $\text{(}2x_1{y}_3=2x_3{y}_1\text{)}$ выполняются.
   • Другие коэффициенты также симметричны.
   • Ответ верный.
4. $\text{(}{x}_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_1{y}_3+x_3{y}_1+x_2{y}_2+4x_3{y}_3\text{)}$:
   • Форма не симметрична (например, коэффициенты при $\text{(}{x}_1{y}_2\text{)}$ и $\text{(}{x}_2{y}_1\text{)}$ различны).
5. $\text{(}4x_1{y}_1+2x_1{y}_3-2x_3{y}_1+5x_2{y}_2+4x_3{y}_3\text{)}$:
   • Форма не симметрична (например, коэффициенты при $\text{(}2x_1{y}_3\text{)}$ и $\text{(}-2x_3{y}_1\text{)}$ различны).

Таким образом, правильно отмечены будут следующие опционы:

• $\text{(}4x_1{y}_1+2x_1{y}_3+2x_3{y}_1+5x_2{y}_2+4x_3{y}_3\text{)}$. Это и есть наш конечный ответ.