Задача на тему билинейных форм и скалярного произведения в трехмерном линейном пространстве

Условие:

Решение:

Задача относится к разделу линейной алгебры, а именно к изучению билинейных форм и скалярного произведения в трехмерном линейном пространстве. Для формирования скалярного произведения в трехмерном пространстве (для векторов \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \) и \( \mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3) \)), билинейная форма должна быть симметричной и определяться как: \[ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \] Давайте проанализируем каждую из предложенных билинейных форм: 1. \( x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_1 y_3 + x_3 y_1 + 3 x_2 y_2 + 4 x_3 y_3 \): - Форма не симметрична (например, коэффициенты при \( x_1 y_2 \) и \( x_2 y_1 \) различны). 2. \( x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_1 y_3 + x_3 y_1 - 3 x_2 y_2 + 4 x_3 y_3 \): - Форма не симметрична (например, коэффициенты при \( x_1 y_2 \) и \( x_2 y_1 \) различны). 3. \( 4 x_1 y_1 + 2 x_1 y_3 + 2 x_3 y_1 + 5 x_2 y_2 + 4 x_3 y_3 \): - Форма симметрична и подходяща для билинейной формы. Проверим: - Условия симметрии: \( 2 x_1 y_3 = 2 x_3 y_1 \) выполняются. - Другие коэффициенты также симметричны. - Ответ верный. 4. \( x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_1 y_3 + x_3 y_1 + x_2 y_2 + 4 x_3 y_3 \): - Форма не симметрична (например, коэффициенты при \( x_1 y_2 \) и \( x_2 y_1 \) различны). 5. \( 4 x_1 y_1 + 2 x_1 y_3 - 2 x_3 y_1 + 5 x_2 y_2 + 4 x_3 y_3 \): - Форма не симметрична (например, коэффициенты при \( 2 x_1 y_3 \) и \( -2 x_3 y_1 \) различны). Таким образом, правильно отмечены будут следующие опционы: - \( 4 x_1 y_1 + 2 x_1 y_3 + 2 x_3 y_1 + 5 x_2 y_2 + 4 x_3 y_3 \). Это и есть наш конечный ответ.