Задача на проверку свойств квадратичной формы

Мы имеем задачу на проверку свойств квадратичной формы. Конкретно, нам нужно определить знакоположительность квадратичной формы. Давайте разберёмся с определениями и решением.

Определения и Теория:

1. Квадратичная форма: Квадратичная форма на векторе \( x \) задается как \( L(x) = x^T A x \), где \( A \) — симметрическая матрица.
2. Знакоположительная (определенно положительная) квадратичная форма: Форма \( L(x) \) считается положительно определенной, если \( L(x) > 0 \) для всех ненулевых \( x \).
3. Знакоотрицательная (определенно отрицательная) квадратичная форма: Форма \( L(x) \) считается отрицательно определенной, если \( L(x) < 0 \) для всех ненулевых \( x \).

Условия задачи:

В условии говорится, что для любого ненулевого вектора \( x \) квадратичная форма \( L(x) \leq 0 \). Но поскольку \( L(x) \) должна быть меньше нуля для всех ненулевых \( x \), это указывает на то, что квадратичная форма является отрицательно определенной.

Решение:

1. Понять, что квадратичная форма не может принимать положительные значения для любых ненулевых векторов, а достигает нуля только для нулевого вектора \( x \).
2. Квадратичная форма \( L(x) \) будет меньшей или равной нулю только если она определенно отрицательна. Таким образом, соответствующий ответ: \[ \boxed{\text{она определённо отрицательна}}. \]

Обоснование:

• Для любого ненулевого вектора \( x \), если квадратичная форма \( L(x) \leq 0 \), это означает, что \( L(x) \) не принимает положительных значений для всех ненулевых \( x \). Это определение отрицательно определенной квадратичной формы.