Задача на преобразование квадратичной формы с помощью линейного оператора, заданного матрицей

Условие:

Решение:

Мы имеем задачу на преобразование квадратичной формы с помощью линейного оператора, заданного матрицей. Дана квадратичная форма: \[ x_1^2 - 4x_1 x_2 - x_2^2 \] и матрица линейного оператора: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \] Замена переменных: \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \] Разложим систему уравнений: \[ x_1 = 2y_1 + y_2 \] \[ x_2 = -2y_1 + 3y_2 \] Подставим эти выражения в квадратичную форму: \[ x_1^2 - 4x_1 x_2 - x_2^2 \] \[ = (2y_1 + y_2)^2 - 4(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) - (-2y_1 + 3y_2)^2 \] Раскроем скобки и упростим выражение, вычислим каждой выражение отдельно: 1. Раскроем \( x_1^2 = (2y_1 + y_2)^2 \): \[ (2y_1 + y_2)^2 = 4y_1^2 + 4y_1 y_2 + y_2^2 \] 2. Раскроем \( -4x_1 x_2 = -4(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) \): \[ -4(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) = -4(4y_1^2 - 4y_1 y_2 + 3y_1y_2 - 3y_2^2) \] \[ = -4(4y_1^2 - y_1 y_2 - 3y_2^2) \] \[ = -16y_1^2 + 16y_1 y_2 - 12y_1 y_2 + 12y_2^2 \] \[ = -16y_1^2 + 4y_1 y_2 + 12y_2^2 \] 3. Раскроем \( - x_2^2 = - (-2y_1 + 3y_2)^2 \): \[ (-2y_1 + 3y_2)^2 = 4y_1^2 - 12y_1 y_2 + 9y_2^2 \] \[ - (4y_1^2 - 12y_1 y_2 + 9y_2^2) = -4y_1^2 + 12y_1 y_2 - 9y_2^2 \] Объединим все три получившихся выражения: \[ 4y_1^2 + 4y_1 y_2 + y_2^2 - 16y_1^2 + 4y_1 y_2 + 12y_2^2 -4y_1^2 + 12y_1 y_2 - 9y_2^2 \] Соберем подобные: \[ (4y_1^2 - 16y_1^2 - 4y_1^2) + (4y_1 y_2 + 4y_1 y_2 + 12y_1 y_2) + (y_2^2 + 12y_2^2 - 9y_2^2) \] \[ = -16y_1^2 + 20 y_1 y_2 + 4y_2^2 \] Из множества предложенных вариантов: \[ y1 ^ 2 – 22y_1y_2 + 7y2 ^ 2 \] \[ -y1 ^ 2 – 11y_1y_2 + 7y2 ^ 2 \] \[ 16y1 ^ 2 – 20y2 ^ 2 \] \[ 8y1 ^ 2 + 8y_1 y_2 – 14y_2 ² \] \[ 8y1 ^ 2 + 4y_1 y_2 – 14y_2 ² \] Нам подходит вариант: \[ \textcolor{green}{8y1 ^ 2 + 4y_1 y_2 – 14 y_2 ² }