Задача на преобразование квадратичной формы с помощью линейного оператора, заданного матрицей

Мы имеем задачу на преобразование квадратичной формы с помощью линейного оператора, заданного матрицей.

Дана квадратичная форма: \( x_1^2 - 4x_1 x_2 - x_2^2 \) и матрица линейного оператора: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \)

Замена переменных: \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \)

Разложим систему уравнений:

\( x_1 = 2y_1 + y_2 \)

\( x_2 = -2y_1 + 3y_2 \)

Подставим эти выражения в квадратичную форму:

\( x_1^2 - 4x_1 x_2 - x_2^2 \)

\( = (2y_1 + y_2)^2 - 4(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) - (-2y_1 + 3y_2)^2 \)

Раскроем скобки и упростим выражение, вычислим каждое выражение отдельно:

1. Раскроем \( x_1^2 = (2y_1 + y_2)^2 \): \( (2y_1 + y_2)^2 = 4y_1^2 + 4y_1 y_2 + y_2^2 \)

2. Раскроем \( -4x_1 x_2 = -4(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) \): \( -4(2y_1 + y_2)(-2y_1 + 3y_2) = -4(4y_1^2 - 4y_1 y_2 + 3y_1y_2 - 3y_2^2) \) \( = -16y_1^2 + 4y_1 y_2 + 12y_2^2 \)

3. Раскроем \( - x_2^2 = - (-2y_1 + 3y_2)^2 \): \( (-2y_1 + 3y_2)^2 = 4y_1^2 - 12y_1 y_2 + 9y_2^2 \) \( - (4y_1^2 - 12y_1 y_2 + 9y_2^2) = -4y_1^2 + 12y_1 y_2 - 9y_2^2 \)

Объединим все три получившихся выражения: \( 4y_1^2 + 4y_1 y_2 + y_2^2 - 16y_1^2 + 4y_1 y_2 + 12y_2^2 -4y_1^2 + 12y_1 y_2 - 9y_2^2 \)

Соберем подобные: \( (4y_1^2 - 16y_1^2 - 4y_1^2) + (4y_1 y_2 + 4y_1 y_2 + 12y_1 y_2) + (y_2^2 + 12y_2^2 - 9y_2^2) \) \( = -16y_1^2 + 20 y_1 y_2 + 4y_2^2 \)

Из множества предложенных вариантов: \( y1 ^ 2 – 22y_1y_2 + 7y2 ^ 2 \) \( -y1 ^ 2 – 11y_1y_2 + 7y2 ^ 2 \) \( 16y1 ^ 2 – 20y2 ^ 2 \) \( 8y1 ^ 2 + 8y_1 y_2 – 14y_2 ² \) \( 8y1 ^ 2 + 4y_1 y_2 – 14y_2 ² \)

Нам подходит вариант: \( \textcolor{green}{8y1 ^ 2 + 4y_1 y_2 – 14 y_2 ² } \)