Задача на определение линейных преобразований

Условие:

какой ответ

Решение:

Перед нами задача на определение линейных преобразований. Обозначены следующие преобразования: \( A(x) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) \) \( B(x) = (3x_3, 3x_1, -x_2) \) \( C(x) = (x_1 + x_2, x_2 - x_3, x_3 x_1) \) Преобразование называют линейным, если оно удовлетворяет двум условиям: 1. Преобразование суммы векторов должно быть равно сумме преобразований этих векторов: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) 2. Преобразование произведения вектора на число должно быть равно произведению этого числа на преобразование вектора: \( T(cu) = cT(u) \) Посмотрим каждое из данных преобразований и проверим, удовлетворяет ли оно этим условиям. ### Проверка линейности преобразования \( A \): 1. \((x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)\) \(A(x + y) = ((x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2), (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1)) \) \(A(x) + A(y) = (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3x_1) + (y_1 - 2y_2, y_2 + y_3, 3y_1) = (x_1 + y_1 - 2x_2 - 2y_2, x_2 + y_2 + x_3 + y_3, 3x_1 + 3y_1)\) Видим, что \(A(x + y) = A(x) + A(y)\). 2. Для числа \( c \): \(A(cx) = A((cx_1, cx_2, cx_3)) = (c x_1 - 2c x_2, cx_2 + c x_3, 3cx_1) = c(x_1 - 2 x_2, x_2 + x_3, 3 x_1))\) \( c A(x) = c (x_1 - 2x_2, x_2 + x_3, 3 x_1)\) Видно, что \( A(cx) = c A(x) \). Таким образом, \( A \) линейное. ### Проверка линейности преобразования \( B \): 1. \((x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)\) \(B(x + y) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1), -(x_2 + y_2))\) \(B(x) + B(y) = (3x_3, 3x_1, -x_2) + (3y_3, 3y_1, -y_2) = (3(x_3 + y_3), 3(x_1 + y_1), -(x_2 + y_2))\) Видим, что \(B(x + y) = B(x) + B(y)\). 2. Для числа \( c \): \(B(cx) = B((cx_1, cx_2, cx_3)) = (3c x_3, 3c x_1, -c x_2)\) \(c B(x) = c(3x_3, 3x_1, -x_2)\), Видно, что \( B(cx) = c B(x) \). Таким образом, \( B \) тоже линейное. ### Проверка линейности преобразования \( C \): 1. \((x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)\) \(C(x + y) = ((x_1 + y_1) + (x_2 + y_2), (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3), (x_3 + y_3) (x_1 + y_1)) = (x_1 + y_1 + x_2 + y_2, x_2 + y_2 - x_3 - y_3, (x_3 + y_3) (x_1 + y_1)) \) Однако \(C(x) + C(y) = (x_1 + x_2, x_2 - x_3, x_3 x_1) + (y_1 + y_2, y_2 - y_3, y_3 y_1) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2, x_2 - x_3 + y_2 - y_3, x_3 x_1 + y_3 y_1) \neq (x_1 + y_1 + x_2 + y_2, x_2 + y_2 - x_3 - y_3, (x_3 + y_3) (x_1 + y_1))\) Даже без проверки второго условия видно, что \( C \) нелинейное из-за нелинейного члена. Таким образом, линейными преобразованиями являются \( A \) и \( B \). Итак, правильный ответ: \( A \) и \( B \) (вариант \( \mathbf{A, B} \)).