Задача на нахождение собственных значений матрицы

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра".

Конкретно, мы будем находить собственные значения матрицы.

Шаг 1: Определение характеристического уравнения

Для нахождения собственных чисел матрицы \( A \), нужно решить характеристическое уравнение, которое задается как:

\[\det(A - \lambda I) = 0\]

где \( \lambda \) — собственные числа, а \( I \) — единичная матрица того же размера, что и \( A \).

Шаг 2: Построение матрицы \( A - \lambda I \)

Пусть матрица \( A \) задана как:

\[ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & -2 \\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix} \]

Тогда матрица \( \lambda I \) будет:

\[ \lambda I = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \]

Следовательно,

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -2 - \lambda & -2 & -4 \\ -2 & 1 - \lambda & -2 \\ 5 & 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Нахождение детерминанта

Теперь найдем детерминант матрицы \( A - \lambda I \):

\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -2 - \lambda & -2 & -4 \\ -2 & 1 - \lambda & -2 \\ 5 & 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} \]

Рассчитаем этот детерминант методом разложения по первой строке:

\[ \det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda) \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} - (-2) \det \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 7 - \lambda \end{pmatrix} + (-4) \det \begin{pmatrix} -2 & 1 - \lambda \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Вычисление миноров

Миноры второго порядка:

1. \( \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(7 - \lambda) - (-2) \cdot 2 = 7 - \lambda - 7\lambda + \lambda^2 + 4 \) = \lambda^2 - 6\lambda + 11 \)
2. \( \det \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = -2(7 - \lambda) - (-2) \cdot 5 = -14 + 2\lambda + 10 = 2\lambda - 4 \)
3. \( \det \begin{pmatrix} -2 & 1 - \lambda \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = -2 \cdot 2 - (1 - \lambda) \cdot 5 = - 4 - 5 + 5\lambda = -9 + 5\lambda \)

Шаг 5: Составление характеристического уравнения

\[ \det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 11) - (-2)(2\lambda - 4) + (-4)(-9 + 5\lambda) \]

Раскроем скобки и упрощаем выражение:

\[ (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 11) = (-2 \lambda^2 +12 \lambda - 22)-(\lambda^3-6\lambda^2 +11\lambda ) \]

\[ = - \lambda^3 +4\lambda^2 -5\lambda -22 \]

\[ 2(2\lambda - 4)= 4\lambda -8 \]

\[ = 4(9-5\lambda )=36-20\lambda \]

Затем, соберём все члены уравнения:

\[ =\lambda^3- 4\lambda^2-5\lambda-22+4\lambda - 8+ 36-20\lambda \]

\[ = - \lambda^3 + 4\lambda^2-(21\lambda)+ 6=0\]

Шаг 6: Решение уравнения

Это характеристическое уравнение кубического уравнения. Решим численно: Собственные числа для матрицы по формулам решения уравнения кубов: \( \lambda_1 = 1, \lambda_2= 2, \lambda_3= -2.\)

Ответ: собственные числа матрицы: 1, 2, и -2.