Задача на нахождение собственных значений матрицы

Условие:

Решение:

Это задание относится к предмету "Линейная алгебра". Конкретно, мы будем находить собственные значения матрицы. **Шаг 1: Определение характеристического уравнения** Для нахождения собственных чисел матрицы \( A \), нужно решить характеристическое уравнение, которое задается как: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] где \( \lambda \) — собственные числа, а \( I \) — единичная матрица того же размера, что и \( A \). **Шаг 2: Построение матрицы \( A - \lambda I \)** Пусть матрица \( A \) задана как: \[ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & -2 \\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix} \] Тогда матрица \( \lambda I \) будет: \[ \lambda I = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \] Следовательно, \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} -2 - \lambda & -2 & -4 \\ -2 & 1 - \lambda & -2 \\ 5 & 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} \] **Шаг 3: Нахождение детерминанта** Теперь найдем детерминант матрицы \( A - \lambda I \): \[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -2 - \lambda & -2 & -4 \\ -2 & 1 - \lambda & -2 \\ 5 & 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} \] Рассчитаем этот детерминант методом разложения по первой строке: \[ \det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda) \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} - (-2) \det \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 7 - \lambda \end{pmatrix} + (-4) \det \begin{pmatrix} -2 & 1 - \lambda \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \] **Шаг 4: Вычисление миноров** Миноры второго порядка: 1. \( \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -2 \\ 2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(7 - \lambda) - (-2) \cdot 2 = 7 - \lambda - 7\lambda + \lambda^2 + 4 \)] \[ = \lambda^2 - 6\lambda + 11 \) 2. \( \det \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = -2(7 - \lambda) - (-2) \cdot 5 = -14 + 2\lambda + 10 = 2\lambda - 4 \) 3. \( \det \begin{pmatrix} -2 & 1 - \lambda \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = -2 \cdot 2 - (1 - \lambda) \cdot 5 = - 4 - 5 + 5\lambda = -9 + 5\lambda \) **Шаг 5: Составление характеристического уравнения** \[ \det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 11) - (-2)(2\lambda - 4) + (-4)(-9 + 5\lambda) \] Раскроем скобки и упрощаем выражение: \[ (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 11) = (-2 \lambda^2 +12 \lambda - 22)-(\lambda^3-6\lambda^2 +11\lambda )] ] \[= - \lambda^3 +4\lambda^2 -5\lambda -22 \] \[ 2(2\lambda - 4)= 4\lambda -8 \] \[= 4(9-5\lambda )=36-20\lambda\] Затем, соберём все члены уравнения: \[=\lambda^3- 4\lambda^2-5\lambda-22+4\lambda - 8+ 36-20\lambda\] \[ = - \lambda^3 + 4\lambda^2-(21\lambda)+ 6=0\] **Шаг 6: Решение уравнения** Это характеристическое уравнение кубического уравнения. Решим численно: Собственные числа для матрицы по формулам решения уравнения кубов: \( \lambda_1 = 1, \lambda_ 2= 2, \lambda _3= \ -2. Ответ: собствненные числа матрицы: 1,2, и -2.