Задача на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы

Условие:

Решение:

Это задача по линейной алгебре на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы.

Задано:

  • Число \(λ=4\) - собственное значение матрицы \(A=(1232)\).
  • Требуется найти значение параметра \(m\), при котором вектор \(x=(2m)\) является собственным вектором этой матрицы.

Собственный вектор \(x\) матрицы \(A\) удовлетворяет уравнению:

\[Ax=λx\]

Этот вектор нами уже задан как \(x=(2m)\). Подставим это значение в уравнение \(Ax=λx\):

\[A(2m)=4(2m)\]

Выполним умножение матрицы на вектор:

\[(1232)(2m)=(12+2m32+2m)=(2+2m6+2m)\]

Для того чтобы вектор \(x\) был собственным, правая и левая часть уравнения должны быть равны:

\[(2+2m6+2m)=4(2m)=(84m)\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[2+2m=8\]

\[6+2m=4m\]

Решим первое уравнение:

\[2+2m=8\]

\[2m=6\]

\[m=3\]

Проверим второе уравнение:

\[6+2m=4m\]

Подставим \(m=3\):

\[6+23=43\]

\[6+6=12\]

\[12=12\]

Обе части уравнения равны, таким образом, решение правильное. Результат: \(m=3\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн