Задача на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы

Это задача по линейной алгебре на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы.

Задано:

• Число \( \lambda = 4 \) - собственное значение матрицы \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \).
• Требуется найти значение параметра \( m \), при котором вектор \( x = \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} \) является собственным вектором этой матрицы.

Собственный вектор \( x \) матрицы \( A \) удовлетворяет уравнению:

\[ A x = \lambda x \]

Этот вектор нами уже задан как \( x = \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} \). Подставим это значение в уравнение \( A x = \lambda x \):

\[ A \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} \]

Выполним умножение матрицы на вектор:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot m \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2m \\ 6 + 2m \end{pmatrix} \]

Для того чтобы вектор \( x \) был собственным, правая и левая часть уравнения должны быть равны:

\[ \begin{pmatrix} 2 + 2m \\ 6 + 2m \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4m \end{pmatrix} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ 2 + 2m = 8 \]

\[ 6 + 2m = 4m \]

Решим первое уравнение:

\[ 2 + 2m = 8 \]

\[ 2m = 6 \]

\[ m = 3 \]

Проверим второе уравнение:

\[ 6 + 2m = 4m \]

Подставим \( m = 3 \):

\[ 6 + 2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 \]

\[ 6 + 6 = 12 \]

\[ 12 = 12 \]

Обе части уравнения равны, таким образом, решение правильное. Результат: \( m = 3 \).