Задача на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы

Это задача по линейной алгебре на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы.

Задано:

• Число $\text{(}\lambda =4\text{)}$ - собственное значение матрицы $\text{(}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\text{)}$.
• Требуется найти значение параметра $\text{(}m\text{)}$, при котором вектор $\text{(}x=\left(\begin{array}{c}2\\ m\end{array}\right)\text{)}$ является собственным вектором этой матрицы.

Собственный вектор $\text{(}x\text{)}$ матрицы $\text{(}A\text{)}$ удовлетворяет уравнению:

$\text{[}Ax=\lambda x\text{]}$

Этот вектор нами уже задан как $\text{(}x=\left(\begin{array}{c}2\\ m\end{array}\right)\text{)}$. Подставим это значение в уравнение $\text{(}Ax=\lambda x\text{)}$:

$\text{[}A\left(\begin{array}{c}2\\ m\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}2\\ m\end{array}\right)\text{]}$

Выполним умножение матрицы на вектор:

$\text{[}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot 2+2\cdot m\\ 3\cdot 2+2\cdot m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+2m\\ 6+2m\end{array}\right)\text{]}$

Для того чтобы вектор $\text{(}x\text{)}$ был собственным, правая и левая часть уравнения должны быть равны:

$\text{[}\left(\begin{array}{c}2+2m\\ 6+2m\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}2\\ m\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 4m\end{array}\right)\text{]}$

Теперь у нас есть два уравнения:

$\text{[}2+2m=8\text{]}$

$\text{[}6+2m=4m\text{]}$

Решим первое уравнение:

$\text{[}2+2m=8\text{]}$

$\text{[}2m=6\text{]}$

$\text{[}m=3\text{]}$

Проверим второе уравнение:

$\text{[}6+2m=4m\text{]}$

Подставим $\text{(}m=3\text{)}$:

$\text{[}6+2\cdot 3=4\cdot 3\text{]}$

$\text{[}6+6=12\text{]}$

$\text{[}12=12\text{]}$

Обе части уравнения равны, таким образом, решение правильное. Результат: $\text{(}m=3\text{)}$.