Задача на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы

Условие:

Решение:

Это задача по линейной алгебре на нахождение собственного значения и собственного вектора матрицы. Задано: - Число \( \lambda = 4 \) - собственное значение матрицы \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \). - Требуется найти значение параметра \( m \), при котором вектор \( x = \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} \) является собственным вектором этой матрицы. Собственный вектор \( x \) матрицы \( A \) удовлетворяет уравнению: \[ A x = \lambda x \] Этот вектор нами уже задан как \( x = \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} \). Подставим это значение в уравнение \( A x = \lambda x \): \[ A \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} \] Выполним умножение матрицы на вектор: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot m \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2m \\ 6 + 2m \end{pmatrix} \] Для того чтобы вектор \( x \) был собственным, правая и левая часть уравнения должны быть равны: \[ \begin{pmatrix} 2 + 2m \\ 6 + 2m \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4m \end{pmatrix} \] Теперь у нас есть два уравнения: \[ 2 + 2m = 8 \] \[ 6 + 2m = 4m \] Решим первое уравнение: \[ 2 + 2m = 8 \] \[ 2m = 6 \] \[ m = 3 \] Проверим второе уравнение: \[ 6 + 2m = 4m \] Подставим \( m = 3 \): \[ 6 + 2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 \] \[ 6 + 6 = 12 \] \[ 12 = 12 \] Обе части уравнения равны, таким образом, решение правильное. Результат: \( m = 3 \).