Задача на нахождение собственного вектора оператора, заданного матрицей

Условие:

Решение:

Задача относится к разделу "Линейная алгебра" высшей математики. Требуется найти собственные векторы оператора, заданного матрицей \( A \). Матрица \( A \) дана как: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] Для нахождения собственных векторов необходимо выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найти собственные значения (λ) Мы решаем характеристическое уравнение \(\det(A - \lambda I) = 0\), где \( I \) - единичная матрица. Матрица \( \lambda I \) будет: \[ \lambda I = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \] Тогда матрица \( A - \lambda I \) будет: \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \] Находим определитель матрицы \( A - \lambda I \): \[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(1 - \lambda) - 2 \cdot 2 \] \[ = (1 - \lambda)^2 - 4 \] \[ = 1 - 2\lambda + \lambda^2 - 4 \] \[ = \lambda^2 - 2\lambda - 3 \] Решаем уравнение: \[ \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \] ### Шаг 2: Решить квадратное уравнение Найдем корни уравнения: \[ \lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ \lambda = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ \lambda = \frac{2 \pm 4}{2} \] Итак, собственные значения равны: \[ \lambda_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ \lambda_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] ### Шаг 3: Найти собственные векторы (для каждого λ) #### Собственное значение \( \lambda = 3 \): Нам нужно найти вектор \( \mathbf{v} \), удовлетворяющий уравнению: \[ (A - 3I) \mathbf{v} = 0 \] Подставляем \( \lambda = 3 \) в \( A - \lambda I \): \[ A - 3I = \begin{pmatrix} 1 - 3 & 2 \\ 2 & 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \] Решаем систему уравнений: \[ \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Эти уравнения эквивалентны одно другому: \[ -2x + 2y = 0 \] \[ y = x \] Собственный вектор для \( \lambda = 3 \) любой вектор вида: \[ \mathbf{v_1} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \text{где } k \text{ - любая константа.} \] #### Собственное значение \( \lambda = -1 \): Подставляем \( \lambda = -1 \) в \( A - \lambda I \): \[ A - (-1)I = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 2 \\ 2 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \] Решаем систему уравнений: \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Эти уравнения также эквивалентны друг другу: \[ 2x + 2y = 0 \] \[ x = -y \] Собственный вектор для \( \lambda = -1 \) любой вектор вида: \[ \mathbf{v_2} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \text{где } k \text{ - любая константа.} \] ### Ответ: Собственные значения матрицы \( A \): \( 3 \) и \( -1 \). Собственные векторы: - Для \( \lambda = 3 \): \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) (или его кратные). - Для \( \lambda = -1 \): \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) (или его кратные).