Задача на нахождение образа вектора

Условие:

Решение:

Это задание по предмету "Линейная алгебра", раздел "Линейные операторы и матрицы". Нам нужно найти образ вектора \( \vec{x} \) при линейном операторе \( \tilde{A} \) с матрицей \( A \). Дано: Матрица \( A \) оператора \( \tilde{A} \): \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \end{pmatrix} \] Вектор \( \vec{x} \): \[ \vec{x} = 2\vec{e_1} + 3\vec{e_2} - 2\vec{e_3} \] Необходимо найти \( \vec{y} = \tilde{A} (\vec{x}) \). Для этого умножим матрицу \( A \) на координаты вектора \( \vec{x} \): \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \] Выполним умножение: \[ \vec{y} = A \cdot \vec{x} \] \[ \vec{y} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \] Выполним поэлементное умножение и суммирование: 1. Первая компонентa: \[ 0 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) = 0 + 6 + 6 = 12 \] 2. Вторая компонентa: \[ 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot (-2) = 8 + 15 - 12 = 11 \] 3. Третья компонентa: \[ 7 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 14 + 24 - 2 = 36 \] Итак, результат: \[ \vec{y} = \begin{pmatrix} 12 \\ 11 \\ 36 \end{pmatrix} \] Таким образом, образ вектора \( \vec{x} \) при линейном операторе \( \tilde{A} \) равен: \[ \vec{y} = 12\vec{e_1} + 11\vec{e_2} + 36\vec{e_3} \]