Задача на нахождение матрицы линейного оператора в новом базисе

Задание относится к предмету "Линейная алгебра" и его разделу "Преобразования матриц и смена базисов".

Решение задачи

Нам дана матрица \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \) линейного оператора в базисе \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2} \} \). Требуется найти матрицу \( A^* \) того же линейного оператора в базисе \( \{ \vec{e_2}, \vec{e_1} \} \).

Процесс нахождения новой матрицы включает следующие шаги:

1. Определение матрицы перехода: Чтобы перейти от базиса \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2} \} \) к базису \( \{ \vec{e_2}, \vec{e_1} \} \), нам требуется матрица перехода. Базис \( \{ \vec{e_2}, \vec{e_1} \} \) можно выразить через базис \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2} \} \) посредством перестановки столбцов единичной матрицы: \[ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
2. Нахождение обратной матрицы перехода: Так как \( P \) это матрица перестановки (она ортогональна), её обратная матрица равна транспонированной: \[ P^{-1} = P^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
3. Вычисление новой матрицы: Новая матрица \( A^* \) будет вычислена по формуле: \[ A^* = P^{-1} A P \] Подставим известные значения: \[ A^* = P^T \cdot A \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] Сначала умножаем \( P^T \) и \( A \): \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] Теперь умножаем полученную матрицу на \( P \): \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] Таким образом, матрица \( A^* \) в базисе \( \{ \vec{e_2}, \vec{e_1} \} \) равна: \[ A^* = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Вывод

Мы нашли матрицу \( A^* \) линейного оператора в новом базисе \( \{ \vec{e_2}, \vec{e_1} \} \).