Задача на нахождение линейной комбинации векторов

Условие:

Решение:

Предмет данного задания — алгебра, раздел — векторная алгебра. Нам нужно найти линейную комбинацию векторов: \[3\vec{a_1} - 2\vec{a_2} + 8\vec{a_3}\] где \[ \vec{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{a_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \vec{a_3} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \] Шаг 1: Умножим каждый вектор на его коэффициент. \[3\vec{a_1} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\] \[-2\vec{a_2} = -2 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -8 \\ -10 \end{pmatrix}\] \[8\vec{a_3} = 8 \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -40 \\ 0 \\ 16 \\ 24 \end{pmatrix}\] Шаг 2: Найдем сумму этих векторов. Сложим все соответствующие компоненты: \[ 3\vec{a_1} - 2\vec{a_2} + 8\vec{a_3} = \begin{pmatrix} 3 &+ 2 &- 40 \\ 6 &+ 6 &+ 0 \\ 3 &- 8 &+ 16 \\ 6 &- 10 &+ 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35 \\ 12 \\ 11 \\ 20 \end{pmatrix} \] Итак, линейная комбинация векторов \(3\vec{a_1} - 2\vec{a_2} + 8\vec{a_3}\) равна: \[ \begin{pmatrix} -35 \\ 12 \\ 11 \\ 20 \end{pmatrix} \]