Задача на нахождение комплексных чисел

Этот вопрос относится к дисциплине математики, подразделу комплексных чисел. Нам нужно вычислить $\text{(}{\left(\frac{16+16i}{i-1}\right)}^{\frac{1}{4}}\text{)}$.

Разберём это действие шаг за шагом:

1. Запишем выражение: $\text{[}{\left(\frac{16+16i}{i-1}\right)}^{\frac{1}{4}}\text{]}$
2. Упростим выражение под корнем. Для начала избавимся от комплексного числа в знаменателе. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к $\text{(}i-1\text{)}$, то есть $\text{(}i+1\text{)}$. $\text{[}\frac{16+16i}{i-1}\cdot \frac{i+1}{i+1}=\frac{(16+16i)\cdot (i+1)}{(i-1)\cdot (i+1)}\text{]}$
3. Выполним умножение числителя и знаменателя:
   • $\text{[}\text{Знаменатель:}(i-1)(i+1)=i^2-1^2=-1-1=-2\text{]}$
   • $\text{[}\text{Числитель:}(16+16i)(i+1)=16i+16i^2+16+16i\text{]}$
   • $\text{[}\text{=}16i+16(-1)+16+16i\text{]}$
   • $\text{[}\text{=}16i-16+16+16i=32i\text{]}$

   Таким образом, наше выражение теперь: $\text{[}\frac{32i}{-2}=-16i\text{]}$

4. Теперь вычислим корень четвёртой степени из $\text{(}-16i\text{)}$:

   Комплексное число в алгебраической форме можно представить как $\text{(}r{e}^{i\theta }\text{)}$, где $\text{(}r\text{)}$ — модуль числа, а $\text{(}\theta \text{)}$ — аргумент.

   • $\text{[}r=|-16i|=16\text{]}$
   • Определим аргумент: $\text{[}-16iнаходитсянаотрицательноймнимойоси,этосоответствуетуглу-90°(или-\pi /2врадианах).Такимобразом,\text{]}$
   • $\text{[}\theta =-\frac{\pi }{2}\text{]}$
   • Теперь найдем корень четвёртой степени: $\text{[}(-16i{)}^{\frac{1}{4}}=(16e^{-i\frac{\pi }{2}}{)}^{\frac{1}{4}}={16}^{\frac{1}{4}}\cdot e^{-i\frac{\pi }{2\cdot 4}}=2\cdot e^{-i\frac{\pi }{8}}\text{]}$
5. Запишем ответ: $\text{[}2e^{-i\frac{\pi }{8}}\text{]}$

   В тригонометрической форме: $\text{[}2(\cos (-\frac{\pi }{8})+i\sin (-\frac{\pi }{8}))\text{]}$

   Либо в экспоненциальной форме: $\text{[}2e^{-i\frac{\pi }{8}}\text{]}$