Задача на нахождение комплексных чисел

Условие:

Реши задачи ((16+16i)/(i-1))^(1/4)

Решение:

Этот вопрос относится к дисциплине математики, подразделу комплексных чисел. Нам нужно вычислить \(\left(\frac{16 + 16i}{i - 1}\right)^{\frac{1}{4}}\). Разберём это действие шаг за шагом: 1. **Запишем выражение:** \[\left(\frac{16 + 16i}{i - 1}\right)^{\frac{1}{4}}\] 2. **Упростим выражение под корнем.** Для начала избавимся от комплексного числа в знаменателе. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к \(i - 1\), то есть \(i + 1\). \[ \frac{16 + 16i}{i - 1} \cdot \frac{i + 1}{i + 1} = \frac{(16 + 16i) \cdot (i + 1)}{(i - 1) \cdot (i + 1)} \] 3. **Выполним умножение числителя и знаменателя:** \[ \text{Знаменатель:} (i - 1)(i + 1) = i^2 - 1^2 = -1 - 1 = -2 \] \[ \text{Числитель:} (16 + 16i)(i + 1) = 16i + 16i^2 + 16 + 16i \] \[ = 16i + 16(-1) + 16 + 16i \] \[ = 16i - 16 + 16 + 16i = 32i \] Таким образом, наше выражение теперь: \[ \frac{32i}{-2} = -16i \] 4. **Теперь вычислим корень четвёртой степени из \(-16i\):** Комплексное число в алгебраической форме можно представить как \(re^{i\theta}\), где \(r\) — модуль числа, а \(\theta\) — аргумент. \[ r = | -16i | = 16 \] Определим аргумент: \[ -16i находится на отрицательной мнимой оси, это соответствует углу -90° (или -\pi/2 в радианах). Таким образом, \] \[ \theta = -\frac{\pi}{2} \] Теперь найдем корень четвёртой степени: \[ (-16i)^{\frac{1}{4}} = (16e^{-i\frac{\pi}{2}})^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{2 \cdot 4}} = 2 \cdot e^{-i\frac{\pi}{8}} \] 5. **Запишем ответ:** \[ 2e^{-i\frac{\pi}{8}} \] В тригонометрической форме: \[ 2 \left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) \] Либо в экспоненциальной форме: \[ 2e^{-i\frac{\pi}{8}} \]