Задача на нахождение комплексных чисел

Этот вопрос относится к дисциплине математики, подразделу комплексных чисел. Нам нужно вычислить \(\left(\frac{16 + 16i}{i - 1}\right)^{\frac{1}{4}}\).

Разберём это действие шаг за шагом:

1. Запишем выражение: \[\left(\frac{16 + 16i}{i - 1}\right)^{\frac{1}{4}}\]
2. Упростим выражение под корнем. Для начала избавимся от комплексного числа в знаменателе. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к \(i - 1\), то есть \(i + 1\). \[ \frac{16 + 16i}{i - 1} \cdot \frac{i + 1}{i + 1} = \frac{(16 + 16i) \cdot (i + 1)}{(i - 1) \cdot (i + 1)} \]
3. Выполним умножение числителя и знаменателя:
   • \[\text{Знаменатель:} (i - 1)(i + 1) = i^2 - 1^2 = -1 - 1 = -2 \]
   • \[\text{Числитель:} (16 + 16i)(i + 1) = 16i + 16i^2 + 16 + 16i \]
   • \[\= 16i + 16(-1) + 16 + 16i \]
   • \[\= 16i - 16 + 16 + 16i = 32i \]

   Таким образом, наше выражение теперь: \[\frac{32i}{-2} = -16i \]

4. Теперь вычислим корень четвёртой степени из \(-16i\):

   Комплексное число в алгебраической форме можно представить как \(re^{i\theta}\), где \(r\) — модуль числа, а \(\theta\) — аргумент.

   • \[r = | -16i | = 16 \]
   • Определим аргумент: \[-16i находится на отрицательной мнимой оси, это соответствует углу -90° (или -\pi/2 в радианах). Таким образом, \]
   • \[\theta = -\frac{\pi}{2} \]
   • Теперь найдем корень четвёртой степени: \[(-16i)^{\frac{1}{4}} = (16e^{-i\frac{\pi}{2}})^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot e^{-i\frac{\pi}{2 \cdot 4}} = 2 \cdot e^{-i\frac{\pi}{8}} \]
5. Запишем ответ: \[2e^{-i\frac{\pi}{8}} \]

   В тригонометрической форме: \[2 \left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) \]

   Либо в экспоненциальной форме: \[2e^{-i\frac{\pi}{8}} \]