Задача на нахождение базиса, при котором матрица A оператора становится диагональной

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Диагонализация матриц

Задание: Найти базис, при котором матрица \(A\) оператора становится диагональной.

Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Найти собственные значения матрицы

Для этого решаем характеристическое уравнение \( \det(A - \lambda I) = 0 \):

\[ \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = 0 \]

Вычислим определитель матрицы: \[ (1 - \lambda)(1 - \lambda) - 2 \cdot 2 = (\lambda - 1)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 \]

Решим уравнение: \[ \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \]

\[ (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0 \]

Таким образом, собственные значения: \[ \lambda_1 = 3 \] \[ \lambda_2 = -1 \]

Шаг 2: Найти собственные векторы

Для каждого собственного значения \( \lambda \) решим линейную систему \( (A - \lambda I)x = 0 \):

1. Для \( \lambda_1 = 3 \):

\[ A - 3I = \begin{pmatrix} 1 - 3 & 2 \\ 2 & 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \]

Решим систему: \[ \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Решение: \[ -2x_1 + 2x_2 = 0 \] \[ x_2 = x_1 \]

Возьмем \( x_1 = 1 \), тогда \( x_2 = 1 \).

Собственный вектор для \( \lambda_1 \): \[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

2. Для \( \lambda_2 = -1 \):

\[ A - (-1)I = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 2 \\ 2 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \]

Решим систему: \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Решение: \[ 2x_1 + 2x_2 = 0 \] \[ x_1 = -x_2 \]

Возьмем \( x_2 = 1 \), тогда \( x_1 = -1 \).

Собственный вектор для \( \lambda_2 \): \[ v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Сформировать базис

Базис, при котором матрица \(A\) становится диагональной, состоит из найденных собственных векторов \(v_1\) и \(v_2\):

\[ \{v_1, v_2\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \]

Таким образом, базис, при котором матрица \(A\) становится диагональной, это \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \).