Задача на матрицу Грама и углы между векторами

Условие:

Решение:

На изображении представлено задание по линейной алгебре, в частности, по теме "Матрица Грама и углы между векторами". Задание: В базисе \( e = \{e_1, e_2, e_3\} \) матрица Грама имеет вид \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Чему равен косинус угла между векторами \( e_1 \) и \( e_3 \)? ### Решение: Матрица Грама \(G\) для векторов \(e_1, e_2, e_3\) содержит скалярные произведения пар этих векторов: \[ G = \begin{pmatrix} (e_1 \cdot e_1) & (e_1 \cdot e_2) & (e_1 \cdot e_3) \\ (e_2 \cdot e_1) & (e_2 \cdot e_2) & (e_2 \cdot e_3) \\ (e_3 \cdot e_1) & (e_3 \cdot e_2) & (e_3 \cdot e_3) \end{pmatrix} \] Итак, мы имеем: \[ G = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Нам нужно найти косинус угла между \( e_1 \) и \( e_3 \). Косинус угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] ### Находим значения, исходя из матрицы Грама: 1. \( \vec{e_1} \cdot \vec{e_1} = 1 \) 2. \( \vec{e_3} \cdot \vec{e_3} = 4 \) 3. \( \vec{e_1} \cdot \vec{e_3} = 1 \) Найдем модули: \[ |\vec{e_1}| = \sqrt{\vec{e_1} \cdot \vec{e_1}} = \sqrt{1} = 1 \] \[ |\vec{e_3}| = \sqrt{\vec{e_3} \cdot \vec{e_3}} = \sqrt{4} = 2 \] Теперь подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{\vec{e_1} \cdot \vec{e_3}}{|\vec{e_1}| |\vec{e_3}|} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} \] Таким образом, косинус угла между векторами \( e_1 \) и \( e_3 \) равен \( 0.5 \), то есть правильный ответ: \[ 0.5 \]