Задача на линейные преобразования и умножения матриц

Условие:

Решение:

Это задание из раздела линейной алгебры математики. Оно затрагивает тему линейных преобразований и умножения матриц. Нам дана матрица $A$: \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ m & 0 & 5 \\ 2 & -1 & n \end{pmatrix} \] И нам известно, что вектор $y$ является результатом линейного преобразования вектора $x$ с помощью матрицы $A$. То есть, выполняется следующее умножение матрицы на вектор: \[ y = A \cdot x \] где \( y = (-2, 7, 6) \) и \( x = (2, -2, 3) \). Покажем умножение: \[ A \cdot x = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ m & 0 & 5 \\ 2 & -1 & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \] Произведение матрицы на вектор дается поэлементным умножением и сложением произведений элементов строк матрицы и элементов вектора: \[ \begin{cases} -1 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -2 - 6 + 6 = -2 \\ m \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 5 \cdot 3 = 2m + 15 = 7 \\ 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) + n \cdot 3 = 4 + 2 + 3n = 6 \end{cases} \] Теперь приравниваем результаты к соответствующим элементам вектора $y$: 1. \( -2 = -2 \) (проверено, соответствует) 2. \( 2m + 15 = 7 \) \[ 2m = 7 - 15 \] \[ 2m = -8 \] \[ m = -4 \] 3. \( 4 + 2 + 3n = 6 \) \[ 6 + 3n = 6 \] \[ 3n = 0 \] \[ n = 0 \] Следовательно, правильный ответ: \[ m = -4, \quad n = 0 \]