Задача на линейные преобразования и матрицы

Условие:

Реши задачу и подробно распиши решение

Решение:

Данное задание относится к предмету "линейная алгебра", раздел "линейные преобразования и матрицы". Нам дано линейное преобразование \(\varphi: L \to L\), которое переводит векторы: \[ \mathbf{a}_1 = (2,0,3), \quad \mathbf{a}_2 = (4,1,5), \quad \mathbf{a}_3 = (3,1,2) \] в векторы, соответственно: \[ \mathbf{b}_1 = (1,2,-1), \quad \mathbf{b}_2 = (4,5,-2), \quad \mathbf{b}_3 = (1,1,1) \] Необходимо найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов. Шаг 1: Определим матрицу преобразования \(\varphi\) в базисе, заданном векторами \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\). Запишем векторы \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\) в виде столбцов матрицы \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix} \] Векторы \(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\) также запишем в виде столбцов матрицы \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] Шаг 2: Запишем уравнение для линейного преобразования: \[ A \mathbf{\Phi} = B \] где \(\mathbf{\Phi}\) - искомая матрица преобразования. Шаг 3: Найдем \(\mathbf{\Phi}\). Так как \(A \mathbf{\Phi} = B\), то можно найти \(\mathbf{\Phi}\) путем умножения \(B\) на \(A^{-1}\): \[ \mathbf{\Phi} = A^{-1} B \] Сначала найдем обратную матрицу \(A^{-1}\): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \end{pmatrix} \] Для этого вычислим определитель \(\det(A)\): \[ \det(A) = 2 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 5) - 4 \cdot (0 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 3 \cdot (0 \cdot 5 - 1 \cdot 3) = 2 \cdot -3 - 4 \cdot -3 + 3 \cdot -3 = -6 + 12 - 9 = -3 \] Далее вычислим матрицу алгебраических дополнений и транспонированную матрицу алгебраических дополнений (матрицу присоединений): \[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & -12 & 12 \\ 9 & 1 & -7 \\ 9 & -8 & 8 \end{pmatrix} \] Обратная матрица \(A^{-1}\) находится путем деления матрицы присоединений на определитель: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -3 & -12 & 12 \\ 9 & 1 & -7 \\ 9 & -8 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -4 \\ -3 & -\frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ -3 & \frac{8}{3} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \] Шаг 4: Найдем матрицу преобразования: \[ \mathbf{\Phi} = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -4 \\ -3 & -\frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ -3 & \frac{8}{3} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) + (4)(2) + (-4)(-1) & (1)(4) + (4)(5) + (-4)(-2) & (1)(1) + (4)(1) + (-4)(1) \\ (-3)(1) + (-\frac{1}{3})(2) + (\frac{7}{3})(-1) & (-3)(4) + (-\frac{1}{3})(5) + (\frac{7}{3})(-2) & (-3)(1) + (-\frac{1}{3})(1) + (\frac{7}{3})(1) \\ (-3)(1) + (\frac{8}{3})(2) + (-\frac{8}{3})(-1) & (-3)(4) + (\frac{8}{3})(5) + (-\frac{8}{3})(-2) & (-3)(1) + (\frac{8}{3})(1) + (-\frac{8}{3})(1) \end{pmatrix} \] Проведем вычисления для каждого элемента: \[ \mathbf{\Phi} = \begin{pmatrix} 1 + 8 + 4 & 4 + 20 + 8 & 1 + 4 - 4 \\ -3 - \frac{2}{3} - \frac{7}{3} & -12 - \frac{5}{3} - \frac{14}{3} & -3 - \frac{1}{3} + \frac{7}{3} \\ -3 + \frac{16}{3} + \frac{8}{3} & -12 + \frac{40}{3} + \frac{16}{3} & -3 + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 32 & 1 \\ -3 - 3 & -12 - \frac{19}{3} & -3 + 2 \\ -3 + 8 & -12 + 40 + \frac{17}{3} & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 32 & 1 \\ -6 & - \frac{55}{3} & -1 \\ -\frac{1}{3} & \frac{44}{3} & -1 \end{pmatrix} \] Итак, матрица линейного преобразования \(\varphi\) будет равна: \[ \mathbf{\Phi} = \begin{pmatrix} 13 & 32 & 1 \\ -6 & - \frac{55}{3} & -1 \\ -\frac{1}{3}& \frac{44}{3} & -1 \end{pmatrix}