Задача на изучение матриц и скалярных произведений

Эта задача относится к разделу "линейная алгебра" математики, и в частности, к изучению матриц и скалярных произведений. Давайте начнем по порядку:

Часть а)

Проверим, может ли матрица \( M \) быть матрицей Грама.

Матрица Грама \( G \) для набора векторов \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) – это квадратная матрица порядка \( n \), элементы которой вычисляются как скалярные произведения всех пар векторов:

\[ G_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle \]

Необходимо, чтобы матрица была симметричной и положительно определенной.

Матрица \( M \):

\[ M = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]

1. Проверка симметричности: Матрица симметричная, если \( M = M^T \). В данном случае:

\[ M^T = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]

Так как \( M = M^T \), матрица симметричная.

2. Проверка положительной определенности: Для этого вычислим все главные миноры матрицы \( M \) (то есть определители верхних левых подматриц).

Для матрицы \( M \):

Главные миноры:

\[ M_1 = \det(\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}) = 2 \]

\[ M_2 = \det(\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 5 \\ \end{pmatrix}) = 2 \cdot 5 - (-2) \cdot (-2) = 10 - 4 = 6 \]

\[ M_3 = \det(\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}) = 2(5 \cdot 2 - 2 \cdot 2) - (-2)(-2 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - 1(-2 \cdot 2 - 1 \cdot 5) = 2(10 - 4) - (-2)(-4 - 2) - 1(-4 - 5) = 2 \cdot 6 - (-2) \cdot (-6) + 9 = 12 - 12 + 9 = 9 \]

Все главные миноры положительны (\(2 > 0, 6 > 0, 9 > 0\)). Следовательно, матрица \( M \) является положительно определенной.

Таким образом, матрица \( M \) может быть матрицей Грама.

Найдем скалярное произведение:

\[ a = (1, -2, 2), \, b = (2, -3, 0) \]

Скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \):

\[ \langle a, b \rangle = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = 2 + 6 + 0 = 8 \]

Часть б)

Здесь нас просят найти значение выражения с евклидовыми нормами векторов и косинусом угла между векторами. Распишем базовые понятия:

1. Длина вектора \( e_i \), \( |e_i| = \sqrt{\langle e_i, e_i \rangle} \)
2. Скалярное произведение векторов \( e_i, e_j \) обозначается \( \langle e_i, e_j \rangle \)
3. Косинус угла между векторами: \( \cos(\theta) = \frac{\langle e_1, e_2 \rangle}{|e_1||e_2|} \)

Судя по выражению:

\[ |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 - e_2 \cdot e_3 - e_2 \cdot e_3 \cos (\theta) \]

Можно найти числа для:

\[ |e_1| = \sqrt{2} \]

\[ |e_2| = \sqrt{5} \]

\[ \cos (\theta) = \frac{8}{\sqrt{(1+4)} \cdot \sqrt{(2+12)}} \]

Результаты:

\[ \sum e...\ видно из вышепредполажемого текста. \]