Задача на изучение матриц и скалярных произведений

Условие:

Решение:

Эта задача относится к разделу "линейная алгебра" математики, и в частности, к изучению матриц и скалярных произведений. Давайте начнем по порядку: ### Часть а) Проверим, может ли матрица \( M \) быть матрицей Грама. Матрица Грама \( G \) для набора векторов \( v_1, v_2, \ldots, v_n \) – это квадратная матрица порядка \( n \), элементы которой вычисляются как скалярные произведения всех пар векторов: \[ G_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle \] Необходимо, чтобы матрица была симметричной и положительно определенной. Матрица \( M \): \[ M = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \] 1. **Проверка симметричности:** Матрица симметричная, если \( M = M^T \). В данном случае: \[ M^T = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \] Так как \( M = M^T \), матрица симметричная. 2. **Проверка положительной определенности:** Для этого вычислим все главные миноры матрицы \( M \) (то есть определители верхних левых подматриц). Для матрицы \( M \): Главные миноры: \[ M_1 = \det(\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}) = 2 \] \[ M_2 = \det(\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 5 \\ \end{pmatrix}) = 2 \cdot 5 - (-2) \cdot (-2) = 10 - 4 = 6 \] \[ M_3 = \det(\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}) = 2(5 \cdot 2 - 2 \cdot 2) - (-2)(-2 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - 1(-2 \cdot 2 - 1 \cdot 5) \] \[ = 2(10 - 4) - (-2)(-4 - 2) - 1(-4 - 5) \] \[ = 2 \cdot 6 - (-2) \cdot (-6) + 9 \] \[ = 12 - 12 + 9 = 9 \] Все главные миноры положительны (\(2 > 0, 6 > 0, 9 > 0\)). Следовательно, матрица \( M \) является положительно определенной. Таким образом, матрица \( M \) может быть матрицей Грама. Найдем скалярное произведение: \[ a = (1, -2, 2), \, b = (2, -3, 0) \] Скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \): \[ \langle a, b \rangle = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 2 \cdot 0 \] \[ \langle a, b \rangle = 2 + 6 + 0 = 8 \] --- ### Часть б) Здесь нас просят найти значение выражения с евклидовыми нормами векторов и косинусом угла между векторами. Распишем базовые понятия: 1. Длина вектора \( e_i \), \( |e_i| = \sqrt{\langle e_i, e_i \rangle} \) 2. Скалярное произведение векторов \( e_i, e_j \) обозначается \( \langle e_i, e_j \rangle \) 3. Косинус угла между векторами: \( \cos(\theta) = \frac{\langle e_1, e_2 \rangle}{|e_1||e_2|} \) Судя по выражению: \[ |e_1|^2 + |e_2|^2 + |e_3|^2 - e_2 \cdot e_3 - e_2 \cdot e_3 \cos (\theta) \] Можно найти числа для: \[ |e_1| = \sqrt{\langle e_1, e1 \rangle} = \sqrt{2} \] \[ |e_2| = \sqrt{5} \] \[ \cos (\theta) = \frac{8}{\sqrt{(1+4)} \cdot \sqrt{(2+12)}}\] Результаты: \[ \sum e...\ видно из вышепредполажемого текста.