Задача на изменение базиса и подобные преобразования матриц

Эта задача относится к предмету "линейная алгебра", а именно к разделу "изменение базиса и подобные преобразования матриц".

Для того чтобы найти матрицу линейного преобразования \(\mathbf{A}\) в новом базисе \( (e_1', e_2') \), нам нужно следовать следующим шагам:

1. Определим старую и новую базисы: В старом базисе \( (e_1, e_2) \) задана матрица \(\mathbf{A}\): \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \] Новый базис задан как: \[ e_1' = e_1 - e_2, \quad e_2' = -2e_1 + 3e_2 \]
2. Запишем новый базис через старый базис в виде матрицы перехода: Сначала найдем векторы нового базиса в координатах старого базиса: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] \( P \) - матрица перехода от старого базиса к новому.
3. Найдем обратную матрицу \( P \): \[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \] Найдем обратную матрицу: Используем формулу для обратной матрицы 2x2: \[ P^{-1} = \frac{1}{(1)(3) - (-1)(-2)} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3 - 2} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
4. Найдем матрицу \( \mathbf{A} \) в новом базисе: Для этого нам нужно вычислить \(\mathbf{A}' = P^{-1} \mathbf{A} P \): \[ \mathbf{P^{-1} \mathbf{A} P } = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \] Сначала вычислим \(\mathbf{A} P\): \[ \mathbf{A} P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) & 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & -4+3 \\ 3+2 & -6-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -12 \end{pmatrix} \] Затем вычислим \(P^{-1} (\mathbf{A} P)\): \[ P^{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5 & 3 \cdot (-1) + 2 \cdot (-12) \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 5 & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot -12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+10 & -3-24 \\ 1+5 & -1-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & -27 \\ 6 & -13 \end{pmatrix} \] Таким образом, соответствующая матрица в новом базисе имеет вид \[ \begin{pmatrix} 13 & -27 \\ 6 & -13 \end{pmatrix} \]

Ответ: \[ \begin{pmatrix} 13 & -27 \\ 6 & -13 \end{pmatrix} \]