Выяснить, при каких значениях параметра m квадратичная форма отрицательно определена

Условие:

Решение:

Этот вопрос относится к курсу высшей математики, конкретно к линейной алгебре и теории матриц (раздел: квадратичные формы и определители). Для решения задачи нужно выяснить, при каких значениях параметра \( m \) квадратичная форма отрицательно определена. Квадратичная форма: \[ -2x_1^2 - 2x_2^2 + mx_3^2 + 2x_1x_2 + 4x_1x_3 - 2x_2x_3 \] может быть представлена в матричной форме: \[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \] где \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) и матрица \( A \) будет симметричной: \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & m \end{pmatrix} \] Необходимо, чтобы все угловые миноры (главные миноры) этой матрицы имели соответствующие знаки, чтобы матрица была отрицательно определена: Пять этапов: 1. **Рассчитаем главный минор порядка 1:** \[ \Delta_1 = -2 \] Он должен быть отрицательным (что совпадает). 2. **Проверим главный минор порядка 2:** \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3 \] Он является положительным (и это условие выполнено). 3. **Рассчитаем главный минор порядка 3:** \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & m \end{vmatrix} \] Рассчитаем детерминант по первому столбцу: \[ \Delta_3 = -2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & m \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & m \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \] Рассчитаем детерминанты второго порядка: \[ \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & m \end{vmatrix} = -2m + 1 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & m \end{vmatrix} = m + 2 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2 = -1 + 4 = 3 \] Итак: \[ \Delta_3 = -2(-2m + 1) - (m + 2) + 2 \cdot 3 = 4m - 2 - m - 2 + 6 = 3m + 2 \] Чтобы матрица была отрицательно определена, третий минор должен отрицательным: \[ 3m + 2 < 0 \] Решаем это неравенство: \[ 3m < -2 \] \[ m < -\frac{2}{3} \] Таким образом, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, параметр \( m \) должен быть меньше -2/3. Так как нам нужно выбрать одно из предложенных в вопросе значений меньше \( -2 \). Ответ: \( m < -2 \).