Выполнить проверку на наличие базиса в трехмерном пространстве и разложить векторы по базису

Шаг 1: Определение предмета и раздела предмета

Это задание относится к векторной алгебре, которая является частью раздела аналитической геометрии. В нем нужно выполнить проверку на наличие базиса в трехмерном пространстве и разложить векторы по базису.

Шаг 2: Обозначения векторов

Даны точки \( А(2, -1, -3) \), \( B(0, 0, 0) \), \( C(5, -1, -1) \), \( M(-1, -1, 1) \). Пусть векторы:

1. \( \mathbf{y} = \overrightarrow{MA} = A - M \)
2. \( \mathbf{b} = \overrightarrow{MB} = B - M \)
3. \( \mathbf{c} = \overrightarrow{MC} = C - M \)

Начнем с нахождения координат этих векторов.

Шаг 3: Нахождение координат векторов

1. Вектор \( \mathbf{y} = \overrightarrow{MA} \):

\( A(2, -1, -3), M(-1, -1, 1) \) \[ \mathbf{y} = A - M = (2 - (-1), -1 - (-1), -3 - 1) = (3, 0, -4) \]

Значит, \( \mathbf{y} = (3, 0, -4) \).

2. Вектор \( \mathbf{b} = \overrightarrow{MB} \):

\( B(0, 0, 0), M(-1, -1, 1) \) \[ \mathbf{b} = B - M = (0 - (-1), 0 - (-1), 0 - 1) = (1, 1, -1) \]

Значит, \( \mathbf{b} = (1, 1, -1) \).

3. Вектор \( \mathbf{c} = \overrightarrow{MC} \):

\( C(5, -1, -1), M(-1, -1, 1) \) \[ \mathbf{c} = C - M = (5 - (-1), -1 - (-1), -1 - 1) = (6, 0, -2) \]

Значит, \( \mathbf{c} = (6, 0, -2) \).

Таким образом, мы получили:

\[ \mathbf{y} = (3, 0, -4), \quad \mathbf{b} = (1, 1, -1), \quad \mathbf{c} = (6, 0, -2) \]

Шаг 4: Проверка, образуют ли векторы базис

Чтобы три вектора образовывали базис в трехмерном пространстве (\( \mathbb{R}^3 \)), они должны быть линейно независимыми. Линейная независимость векторов в \( \mathbb{R}^3 \) означает, что их определитель должен быть ненулевым.

Посчитаем определитель матрицы, составленной из векторов \( \mathbf{y}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \).

\[ \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \\ 6 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]

Вычислим этот определитель:

\[ \text{det} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычисляем миноры:

• \( \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 0 = -2 \)
• \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 6 = -6 \)

Теперь подставим это в выражение для определителя:

\[ \text{det} = 3 \cdot (-2) + (-4) \cdot (-6) = -6 + 24 = 18 \]

Так как определитель \( \neq 0 \) (\( \text{det} = 18 \)), это означает, что векторы \( \mathbf{y}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) линейно независимы и, следовательно, образуют базис в пространстве.

Шаг 5: Разложение вектора \( \overrightarrow{BC} \) по векторам этого базиса

Найдем вектор \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (5 - 0, -1 - 0, -1 - 0) = (5, -1, -1) \]

Итак, \( \overrightarrow{BC} = (5, -1, -1) \).

Теперь нам нужно разложить вектор \( \overrightarrow{BC} \) по базису \( \mathbf{y}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \), то есть найти такие коэффициенты \( \alpha, \beta, \gamma \), что:

\[ \overrightarrow{BC} = \alpha \mathbf{y} + \beta \mathbf{b} + \gamma \mathbf{c} \]

Это система линейных уравнений относительно \( \alpha, \beta, \gamma \):

\[ (5, -1, -1) = \alpha (3, 0, -4) + \beta (1, 1, -1) + \gamma (6, 0, -2) \]

Запишем эту систему в координатной форме:

\[ \begin{cases} 3\alpha + \beta + 6\gamma = 5 \\ 0\alpha + \beta + 0\gamma = -1 \\ -4\alpha - \beta - 2\gamma = -1 \end{cases} \]

Решение системы

Из второго уравнения:

\[ \beta = -1 \]

Подставим \( \beta = -1 \) в первое и третье уравнения:

1. \( 3\alpha + (-1) + 6\gamma = 5 \) → \( 3\alpha + 6\gamma = 6 \) → \( \alpha + 2\gamma = 2 \)
2. \( -4\alpha - (-1) - 2\gamma = -1 \) → \( -4\alpha + 1 - 2\gamma = -1 \) → \( -4\alpha - 2\gamma = -2 \)

Получаем систему с двумя уравнениями:

\[ \begin{cases} \alpha + 2\gamma = 2 \\ -4\alpha - 2\gamma = -2 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( \gamma \):

\[ (\alpha + 2\gamma) + (-4\alpha - 2\gamma) = 2 + (-2) \implies -3\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \]

Теперь подставим \( \alpha = 0 \) в уравнение \( \alpha + 2\gamma = 2 \):

\[ 0 + 2\gamma = 2 \implies \gamma = 1 \]

Итак, \( \alpha = 0, \beta = -1, \gamma = 1 \).

Ответ:

\[ \overrightarrow{BC} = 0 \mathbf{y} - 1 \mathbf{b} + 1 \mathbf{c} \]

Вектор \( \overrightarrow{BC} \) разлагается по базису \( \{ \mathbf{y}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \} \) следующим образом: