Выделить целую часть дроби

Предмет: Математика

Раздел предмета: Алгебра (Деление многочленов)

Задание:

Выделить целую часть дроби \(\frac{3x^3 - 8x^2 + 8x - 3}{4x + 8}\).

Для решения этого задания, нам нужно выполнить деление многочлена в числителе \(3x^3 - 8x^2 + 8x - 3\) на многочлен \(4x + 8\).

Шаг 1: Упрощаем знаменатель

Прежде чем приступать к непосредственно делению, давайте упростим знаменатель. Знаменатель \(4x + 8\) можно вынести за скобки общий множитель 4:

\[ 4x + 8 = 4(x + 2) \]

Теперь выражение приобретает вид:

\[ \frac{3x^3 - 8x^2 + 8x - 3}{4(x + 2)}. \]

Чтобы упростить задачу, произведем деление числителя на \(x + 2\), а множитель 4 оставим позже.

Шаг 2: Выполняем деление уголком (деление многочлена на многочлен)

Нам нужно разделить многочлен \(3x^3 - 8x^2 + 8x - 3\) на \(x + 2\). Для этого используем метод деления многочленов уголком.

1. Первый шаг деления: Мы делим первый член числителя на первый член знаменателя: \[ \frac{3x^3}{x} = 3x^2. \] Пишем \(3x^2\) как первый член частного.
2. Вычитаем произведение \(3x^2 \cdot (x + 2)\): \[ 3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2. \] Запишем это под многочленом и произведем вычитание: \[ (3x^3 - 8x^2 + 8x - 3) - (3x^3 + 6x^2) = -14x^2 + 8x - 3. \]
3. Второй шаг деления: Теперь делим первый остаточный член \(-14x^2\) на \(x\): \[ \frac{-14x^2}{x} = -14x. \] Пишем \-14x как второй член частного.
4. Вычитаем произведение \(-14x \cdot (x + 2)\): \[ -14x(x + 2) = -14x^2 - 28x. \] Запишем это и произведем вычитание: \[ (-14x^2 + 8x - 3) - (-14x^2 - 28x) = 36x - 3. \]
5. Третий шаг деления: Теперь делим первый остаточный член \(36x\) на \(x\): \[ \frac{36x}{x} = 36. \] Пишем \(36\) как последний член частного.
6. Вычитаем произведение \(36 \cdot (x + 2)\): \[ 36(x + 2) = 36x + 72. \] Выполняем вычитание: \[ (36x - 3) - (36x + 72) = -75. \]

Таким образом, результат деления:

\[ \frac{3x^3 - 8x^2 + 8x - 3}{x + 2} = 3x^2 - 14x + 36 - \frac{75}{x + 2}. \]

Шаг 3: Учитываем множитель 4

Теперь возвращаем множитель 4, который мы вынесли ранее. Деление выражения на 4 даёт:

\[ \frac{3x^2 - 14x + 36 - \frac{75}{x + 2}}{4} = \frac{3x^2}{4} - \frac{14x}{4} + \frac{36}{4} - \frac{75}{4(x + 2)}. \]

Упростим дроби:

\[ \frac{3x^2}{4} - \frac{14x}{4} + 9 - \frac{75}{4(x + 2)}. \]

Ответ:

Целая часть дроби:

\[ \frac{3x^2}{4} - \frac{14x}{4} + 9. \]

Остаток дроби:

\[-\frac{75}{4(x + 2)}.\]