Вычислить три нормы для заданного вектора

Предмет: Численные методы \ Линейная алгебра

Раздел: Нормы векторов

Задание: Вычислить три нормы для заданного вектора $\text{(}x=(7,8,2{)}^T\text{)}$.

Нормы, которые обычно требуются:

1. $\text{(}{L}_1\text{)}$-норма
2. $\text{(}{L}_2\text{)}$-норма
3. $\text{(}{L}_{\mathrm{\infty }}\text{)}$-норма

Разберём их по порядку и вычислим.

1. $\text{(}{L}_1\text{)}$-норма

$\text{(}{L}_1\text{)}$-норма, или манхэттенская норма, представляет собой сумму модулей компонентов вектора:

$\text{[}\parallel x{\parallel }_1=|7|+|8|+|2|=7+8+2=17\text{]}$

Ответ: $\text{(}\parallel x{\parallel }_1=17.00\text{)}$

2. $\text{(}{L}_2\text{)}$-норма

$\text{(}{L}_2\text{)}$-норма, или евклидова норма, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов всех компонентов:

$\text{[}\parallel x{\parallel }_2=\sqrt{7^2+8^2+2^2}=\sqrt{49+64+4}=\sqrt{117}\approx 10.82\text{]}$

Ответ округляем до двух знаков после запятой: $\text{(}\parallel x{\parallel }_2\approx 10.82\text{)}$

3. $\text{(}{L}_{\mathrm{\infty }}\text{)}$-норма

$\text{(}{L}_{\mathrm{\infty }}\text{)}$-норма, или максимальная норма, — это максимальный абсолютный элемент вектора:

$\text{[}\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=max(|7|,|8|,|2|)=8\text{]}$

Ответ: $\text{(}\parallel x{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=8.00\text{)}$

Окончательный ответ:

$\text{[}17.00,10.82,8.00\text{]}$