Вычислить три нормы для заданного вектора

Предмет: Численные методы \ Линейная алгебра

Раздел: Нормы векторов

Задание: Вычислить три нормы для заданного вектора \( x = (7, 8, 2)^T \).

Нормы, которые обычно требуются:

1. \(L_1\)-норма
2. \(L_2\)-норма
3. \(L_\infty\)-норма

Разберём их по порядку и вычислим.

1. \(L_1\)-норма

\(L_1\)-норма, или манхэттенская норма, представляет собой сумму модулей компонентов вектора:

\[ \|x\|_1 = |7| + |8| + |2| = 7 + 8 + 2 = 17 \]

Ответ: \( \|x\|_1 = 17.00 \)

2. \(L_2\)-норма

\(L_2\)-норма, или евклидова норма, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов всех компонентов:

\[ \|x\|_2 = \sqrt{7^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 64 + 4} = \sqrt{117} \approx 10.82 \]

Ответ округляем до двух знаков после запятой: \( \|x\|_2 \approx 10.82 \)

3. \(L_\infty\)-норма

\(L_\infty\)-норма, или максимальная норма, — это максимальный абсолютный элемент вектора:

\[ \|x\|_\infty = \max(|7|, |8|, |2|) = 8 \]

Ответ: \( \|x\|_\infty = 8.00 \)

Окончательный ответ:

\[ 17.00, 10.82, 8.00 \]