Задача. Вычислить сумму (z1+z2) и разность (z1−z2) комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. z1=2e^−πi; z2=4e^πi.
Предмет: Комплексные числа относятся к разделу комплексного анализа (или алгебра)
Раздел предмета: Показательная форма комплексных чисел
Задание: Вычислить сумму \( (z_1 + z_2) \) и разность \( (z_1 - z_2) \) комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости
Дано: \( z_1 = 2e^{−πi} \) \( z_2 = 4e^{πi} \)
Для решения этой задачи необходимо:
- Перевести комплексные числа из показательной формы в алгебраическую форму.
- Выполнить операции сложения и вычитания в алгебраической форме.
- Построить комплексные числа и результаты операций на комплексной плоскости.
Шаг 1. Перевод в алгебраическую форму
Комплексная форма числа в показательной записи \( re^{i\theta} \) может быть преобразована в алгебраическую форму как \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \).
Для \( z_1 = 2e^{-πi} \):
- \( z_1 = 2(\cos(-π) + i\sin(-π)) \)
- \( \cos(-π) = -1 \)
- \( \sin(-π) = 0 \)
- \( z_1 = 2(-1 + 0i) \)
- \( z_1 = -2 \)
Для \( z_2 = 4e^{πi} \):
- \( z_2 = 4(\cos(π) + i\sin(π)) \)
- \( \cos(π) = -1 \)
- \( \sin(π) = 0 \)
- \( z_2 = 4(-1 + 0i) \)
- \( z_2 = -4 \)
Шаг 2. Операции сложения и вычитания
Сумма \( z_1 + z_2 \):
- \( z_1 + z_2 = -2 + (-4) \)
- \( z_1 + z_2 = -6 \)
Разность \( z_1 - z_2 \):
- \( z_1 - z_2 = -2 - (-4) \)
- \( z_1 - z_2 = -2 + 4 \)
- \( z_1 - z_2 = 2 \)
Шаг 3. Построение на комплексной плоскости
Чтобы построить эти числа на комплексной плоскости:
- \( z_1 = -2 \) будет точкой на действительной оси: (-2, 0).
- \( z_2 = -4 \) будет точкой на действительной оси: (-4, 0).
- \( z_1 + z_2 = -6 \) будет точкой на действительной оси: (-6, 0).
- \( z_1 - z_2 = 2 \) будет точкой на действительной оси: (2, 0).
Итоговые значения:
- \( z_1 \) в алгебраической форме: \( -2 \)
- \( z_2 \) в алгебраической форме: \( -4 \)
- Сумма: \( z_1 + z_2 = -6 \)
- Разность: \( z_1 - z_2 = 2 \)
Все точки располагаются на действительной оси, так как их мнимые части равны нулю.