Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости

Условие:

Задача. Вычислить сумму (z1+z2) и разность (z1−z2) комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. z1=2e^−πi; z2=4e^πi.

Решение:

Хорошо, я помогу вам с этой задачей. Давайте разберемся с предметом и разделом, а затем решим задачу. **Предмет:** Комплексные числа относятся к разделу комплексного анализа (или алгебра). **Раздел предмета:** Показательная форма комплексных чисел. **Задание:** Вычислить сумму \( (z_1 + z_2) \) и разность \( (z_1 - z_2) \) комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. **Дано:** \( z_1 = 2e^{−πi} \) \( z_2 = 4e^{πi} \) Для решения этой задачи необходимо: 1. Перевести комплексные числа из показательной формы в алгебраическую форму. 2. Выполнить операции сложения и вычитания в алгебраической форме. 3. Построить комплексные числа и результаты операций на комплексной плоскости. ### Шаг 1. Перевод в алгебраическую форму Комплексная форма числа в показательной записи \( re^{i\theta} \) может быть преобразована в алгебраическую форму как \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \). Для \( z_1 = 2e^{-πi} \): \[ z_1 = 2(\cos(-π) + i\sin(-π)) \] \[ \cos(-π) = -1 \] \[ \sin(-π) = 0 \] \[ z_1 = 2(-1 + 0i) \] \[ z_1 = -2 \] Для \( z_2 = 4e^{πi} \): \[ z_2 = 4(\cos(π) + i\sin(π)) \] \[ \cos(π) = -1 \] \[ \sin(π) = 0 \] \[ z_2 = 4(-1 + 0i) \] \[ z_2 = -4 \] ### Шаг 2. Операции сложения и вычитания **Сумма** \( z_1 + z_2 \): \[ z_1 + z_2 = -2 + (-4) \] \[ z_1 + z_2 = -6 \] **Разность** \( z_1 - z_2 \): \[ z_1 - z_2 = -2 - (-4) \] \[ z_1 - z_2 = -2 + 4 \] \[ z_1 - z_2 = 2 \] ### Шаг 3. Построение на комплексной плоскости Чтобы построить эти числа на комплексной плоскости: - \( z_1 = -2 \) будет точкой на действительной оси: (-2, 0). - \( z_2 = -4 \) будет точкой на действительной оси: (-4, 0). - Сумма \( z_1 + z_2 = -6 \) будет точкой на действительной оси: (-6, 0). - Разность \( z_1 - z_2 = 2 \) будет точкой на действительной оси: (2, 0). ### Итоговые значения: - \( z_1 \) в алгебраической форме: \( -2 \) - \( z_2 \) в алгебраической форме: \( -4 \) - Сумма: \( z_1 + z_2 = -6 \) - Разность: \( z_1 - z_2 = 2 \) Все точки располагаются на действительной оси, так как их мнимые части равны нулю.