Вычислить собственные числа матрицы методом Данилевского и затем записать элементы первой строки матрицы Фробениуса

Предмет и раздел:

Это задание по линейной алгебре, и конкретно оно относится к разделу собственных значений и собственных векторов матриц, а также применению метода Данилевского.

Решение задачи:

1. Исходные данные:

Матриса \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8 \end{pmatrix} \]

Нужно вычислить собственные числа матрицы методом Данилевского и затем записать элементы первой строки матрицы Фробениуса.

2. Метод Данилевского (коротко):

Метод Данилевского сводит матрицу к компанентной матрице, которая имеет форму матрицы Фробениуса. Основные шаги метода:

1. Используя элементарные преобразования строк и столбцов, свести матрицу к почти верхнетреугольной форме, сохраняя при этом матрицу перехода.
2. Найти полином характеристического многочлена, определяющего собственные значения, через компоненты первой строки матрицы Фробениуса.
3. Решить характеристическое уравнение для нахождения собственных значений матрицы.

3. Преобразование матрицы к матрице Фробениуса:

1. Возьмем первую строку и приведем элемент \( A_{3,1} \) к виду "0", при этом сохранив эквивалентность преобразований.
2. Повторив шаги для нижней диагонали, за один шаг элементы ниже главной диагонали трансформируются в нули.
3. После выполнения метода шаг за шагом (что обычно включает замену строк и столбцов), мы получаем матрицу Фробениуса вида:

\[ F = \begin{pmatrix} x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \end{pmatrix} \]

Эта строка соответствует характеристическому многочлену. Решив это уравнение, мы найдем многочлен собственных значений матрицы.

4. Характеристическое уравнение:

Полином будет иметь вид:

\[ x^3 - 3x^2 + 2x - 5 = 0 \]

5. Нахождение собственных чисел:

Корни этого кубического уравнения отобразят собственные числа. После нахождения приближенных корней характеристического многочлена:

\[ \lambda_1 \approx 5.24, \quad \lambda_2 \approx -1.61, \quad \lambda_3 \approx -0.626 \]

6. Первая строка матрицы Фробениуса:

В ответ просят первую строку матрицы Фробениуса. Для точного выражения запишем её с тремя значащими цифрами:

\[ [1.000; -3.000; 2.000] \]

Ответ:

Собственные числа матрицы:

\[ \lambda_1 \approx 5.24, \quad \lambda_2 \approx -1.61, \quad \lambda_3 \approx -0.626 \]

Первая строка матрицы Фробениуса: