Вычислить разность произведений матриц

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и операции над ними

Рассмотрим задание 31. Требуется вычислить разность произведений матриц ( AB - BA ), где:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 4 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \ -4 & 1 \end{pmatrix}. 

Шаг 1. Найдем произведение ( AB ).

Произведение матриц вычисляется по формуле:  (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}. 

Вычислим ( AB ):  AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 4 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \ -4 & 1 \end{pmatrix}. 

Выполним поэлементное умножение:

1. Элемент ( (1, 1) ): ( 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 2 - 8 = -6 ),
2. Элемент ( (1, 2) ): ( 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1 ),
3. Элемент ( (2, 1) ): ( 4 \cdot 2 + (-1) \cdot (-4) = 8 + 4 = 12 ),
4. Элемент ( (2, 2) ): ( 4 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 = -12 - 1 = -13 ).

Итак:  AB = \begin{pmatrix} -6 & -1 \ 12 & -13 \end{pmatrix}. 

Шаг 2. Найдем произведение ( BA ).

Аналогично вычислим ( BA ):  BA = \begin{pmatrix} 2 & -3 \ -4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 4 & -1 \end{pmatrix}. 

Выполним поэлементное умножение:

1. Элемент ( (1, 1) ): ( 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 = 2 - 12 = -10 ),
2. Элемент ( (1, 2) ): ( 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 4 + 3 = 7 ),
3. Элемент ( (2, 1) ): ( -4 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = -4 + 4 = 0 ),
4. Элемент ( (2, 2) ): ( -4 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = -8 - 1 = -9 ).

Итак:  BA = \begin{pmatrix} -10 & 7 \ 0 & -9 \end{pmatrix}. 

Шаг 3. Найдем разность ( AB - BA ).

Выражение ( AB - BA ) вычисляется поэлементно:  AB - BA = \begin{pmatrix} -6 & -1 \ 12 & -13 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -10 & 7 \ 0 & -9 \end{pmatrix}. 

Выполним вычитание:

1. Элемент ( (1, 1) ): ( -6 - (-10) = -6 + 10 = 4 ),
2. Элемент ( (1, 2) ): ( -1 - 7 = -8 ),
3. Элемент ( (2, 1) ): ( 12 - 0 = 12 ),
4. Элемент ( (2, 2) ): ( -13 - (-9) = -13 + 9 = -4 ).

Итак:  AB - BA = \begin{pmatrix} 4 & -8 \ 12 & -4 \end{pmatrix}. 

Ответ:
 AB - BA = \begin{pmatrix} 4 & -8 \ 12 & -4 \end{pmatrix}.