Вычислить ранг матрицы

Задание: Вычислить ранг матрицы из задания 2.170

Матрица из задания: \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Определим предмет и раздел:

Задание относится к предмету "линейная алгебра", а конкретно к разделу, включающему изучение "ранга матрицы".

Ранг матрицы:

Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Шаги для нахождения ранга:

1. Приведём матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк (метод Гаусса).
2. Определим количество ненулевых строк, что и будет рангом матрицы.

Шаг 1: Формируем начальную матрицу:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Приведение к ступенчатому виду

1. Первая строка остаётся без изменений (можем оставить первую строчку, так как у неё первый ведущий элемент равен 2, она сразу корректна):

\[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

• Вернемся ко второй строке: она уже имеет нулевой элемент на первой позиции, поэтому её не трогаем.
• Строки 3 и 4 тоже имеют нули в начальной колонке.

Чтобы исключить элементы по первому столбцу:

• Используем условие вида: x[:, 0] != значение

Например:

import numpy as np

# Создаем массив
x = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])

# Исключаем строки, где первый столбец равен 3
x_filtered = x[x[:, 0] != 3]

print(x_filtered)

Результатом будет:

array([[1, 2],
       [5, 6]])