Вычислить производную этой функции в точке M1 по направлению вектора M1M2

Предмет: Математический анализ
Раздел: Производная функции многих переменных, производная в направлении

Решение:

Нам дана функция:
u(M) = e^{xy} + z^2

и точки:
M_1(-5;0;2),
M_2(2;4;-3).

Необходимо найти производную функции в точке M_1 по направлению вектора \overrightarrow{M_1M_2}.

1. Определим направляющий вектор \overrightarrow{M_1M_2}:

\overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1).
Подставляем координаты:
\overrightarrow{M_1M_2} = (2 - (-5), 4 - 0, -3 - 2) = (7,4,-5).

2. Найдем единичный вектор направления:

Длина вектора \overrightarrow{M_1M_2} определяется как:
|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{7^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.

Единичный вектор:
\mathbf{e} = \left(\frac{7}{3\sqrt{10}}, \frac{4}{3\sqrt{10}}, \frac{-5}{3\sqrt{10}}\right).

3. Найдем градиент функции \nabla u:

Частные производные:

• По x:
  \frac{\partial u}{\partial x} = y e^{xy}.
• По y:
  \frac{\partial u}{\partial y} = x e^{xy}.
• По z:
  \frac{\partial u}{\partial z} = 2z.

Вычисляем градиент в точке M_1(-5;0;2):

• \frac{\partial u}{\partial x}(-5,0,2) = 0 \cdot e^{(-5)\cdot 0} = 0.
• \frac{\partial u}{\partial y}(-5,0,2) = (-5) e^{(-5)\cdot 0} = -5.
• \frac{\partial u}{\partial z}(-5,0,2) = 2 \cdot 2 = 4.

Следовательно, градиент:
\nabla u(-5,0,2) = (0, -5, 4).

4. Найдем производную в направлении \mathbf{e}:

Производная в направлении \mathbf{e} определяется как:
D_{\mathbf{e}} u = \nabla u \cdot \mathbf{e},
то есть скалярное произведение:
D_{\mathbf{e}} u = (0, -5, 4) \cdot \left(\frac{7}{3\sqrt{10}}, \frac{4}{3\sqrt{10}}, \frac{-5}{3\sqrt{10}}\right).

Вычисляем:
D_{\mathbf{e}} u = 0 \cdot \frac{7}{3\sqrt{10}} + (-5) \cdot \frac{4}{3\sqrt{10}} + 4 \cdot \frac{-5}{3\sqrt{10}}.

D_{\mathbf{e}} u = -\frac{20}{3\sqrt{10}} - \frac{20}{3\sqrt{10}}.

D_{\mathbf{e}} u = -\frac{40}{3\sqrt{10}}.

Упрощаем:
D_{\mathbf{e}} u = -\frac{40\sqrt{10}}{30} = -\frac{4\sqrt{10}}{3}.

Ответ:

D_{\mathbf{e}} u = -\frac{4\sqrt{10}}{3}.