Вычислить производную этой функции в точке M1 по направлению M1M2

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Для вычисления производной функции y(M) = e^{xy} + z^2 в точке M_1(-5;0;2) по направлению вектора \overrightarrow{M_1M_2}, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем направляющий вектор \overrightarrow{M_1M_2}

Вектор \overrightarrow{M_1M_2} определяется как разность координат точек M_2 и M_1:

 \overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) 

Подставляем координаты:

 \overrightarrow{M_1M_2} = (2 - (-5), 4 - 0, -3 - 2) = (7, 4, -5) 

2. Вычислим градиент функции \nabla y

Градиент функции y(M) = e^{xy} + z^2 имеет следующие частные производные:

• Частная производная по x:

 \frac{\partial y}{\partial x} = y e^{xy} 

• Частная производная по y:

 \frac{\partial y}{\partial y} = x e^{xy} 

• Частная производная по z:

 \frac{\partial y}{\partial z} = 2z 

Подставляем координаты точки M_1(-5,0,2):

 \frac{\partial y}{\partial x} \Big|_{M_1} = 0 \cdot e^{-5 \cdot 0} = 0 

 \frac{\partial y}{\partial y} \Big|_{M_1} = -5 \cdot e^{-5 \cdot 0} = -5 

 \frac{\partial y}{\partial z} \Big|_{M_1} = 2 \cdot 2 = 4 

Следовательно, градиент в точке M_1:

 \nabla y(M_1) = (0, -5, 4) 

3. Вычислим производную в данном направлении

Производная функции по направлению вектора \overrightarrow{M_1M_2} определяется как скалярное произведение градиента на единичный вектор направления:

 D_{\mathbf{u}} y = \nabla y \cdot \mathbf{u} 

Сначала найдем единичный вектор \mathbf{u}:

 |\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{7^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 16 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} 

Тогда единичный вектор:

 \mathbf{u} = \left( \frac{7}{3\sqrt{10}}, \frac{4}{3\sqrt{10}}, \frac{-5}{3\sqrt{10}} \right) 

Теперь вычислим скалярное произведение:

 D_{\mathbf{u}} y = (0, -5, 4) \cdot \left( \frac{7}{3\sqrt{10}}, \frac{4}{3\sqrt{10}}, \frac{-5}{3\sqrt{10}} \right) 

 D_{\mathbf{u}} y = 0 \cdot \frac{7}{3\sqrt{10}} + (-5) \cdot \frac{4}{3\sqrt{10}} + 4 \cdot \frac{-5}{3\sqrt{10}} 

 D_{\mathbf{u}} y = -\frac{20}{3\sqrt{10}} - \frac{20}{3\sqrt{10}} = -\frac{40}{3\sqrt{10}} 

Упростим выражение:

 D_{\mathbf{u}} y = -\frac{40}{3\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = -\frac{40\sqrt{10}}{30} = -\frac{4\sqrt{10}}{3} 

Ответ:

Производная функции y(M) = e^{xy} + z^2 в точке M_1(-5;0;2) по направлению вектора \overrightarrow{M_1M_2} равна:

 -\frac{4\sqrt{10}}{3}