Вычислить поверхностный интеграл второго рода

Предмет: Математика Раздел: Векторный анализ (поверхностные интегралы второго рода) Тип задачи: Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

Пояснение

Поверхностный интеграл второго рода для векторного поля \( \mathbf{F} = (f(x), g(y), h(z)) \) через поверхность \( S \) выражается как: \[ \iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint\limits_{S} (f(x) \, dS_x + g(y) \, dS_y + h(z) \, dS_z), \] где \( dS_x, dS_y, dS_z \) — компоненты нормального вектора \( d\mathbf{S} \). Однако, применим теорему Остроградского-Гаусса для упрощения расчёта поверхностного интеграла. Согласно ей: \[ \iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} (\operatorname{div} \mathbf{F}) \, dV, \] где \( V \) — объём, ограниченный поверхностью \( S \), и \( \operatorname{div} \mathbf{F} \) — дивергенция векторного поля \( \mathbf{F} \).

Шаг 1. Вычисление дивергенции векторного поля.

Векторное поле \( \mathbf{F} = (f(x), g(y), h(z)) \) имеет дивергенцию, которая рассчитывается как: \[ \operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial f(x)}{\partial x} + \frac{\partial g(y)}{\partial y} + \frac{\partial h(z)}{\partial z}. \] В нашем случае \( f(x), g(y), h(z) \) — это функции переменных \( x \), \( y \), \( z \) соответственно. Тогда: \[ \operatorname{div} \mathbf{F} = f'(x) + g'(y) + h'(z). \]

Шаг 2. Вычисление объёмного интеграла.

Теперь, используя теорему Остроградского-Гаусса, интеграл по поверхности преобразуется в интеграл по объёму, ограниченному параллелепипедом, с границами \( 0 \leq x \leq a \), \( 0 \leq y \leq b \), \( 0 \leq z \leq c \). Таким образом, вычисляем объёмный интеграл: \[ \iiint\limits_{V} (f'(x) + g'(y) + h'(z)) \, dx \, dy \, dz. \] Проще всего этот интеграл разбить на три отдельных интеграла для каждого слагаемого: \[ \iiint\limits_{V} f'(x) \, dx \, dy \, dz + \iiint\limits_{V} g'(y) \, dx \, dy \, dz + \iiint\limits_{V} h'(z) \, dx \, dy \, dz. \] Каждый из этих интегралов можно упростить. Рассмотрим их по очереди.

• Для \( f'(x) \): \[ \iiint\limits_{V} f'(x) \, dx \, dy \, dz = \int_0^b \int_0^c \left( \int_0^a f'(x) \, dx \right) dz \, dy = bc \left( f(a) - f(0) \right). \]
• Для \( g'(y) \): \[ \iiint\limits_{V} g'(y) \, dx \, dy \, dz = \int_0^a \int_0^c \left( \int_0^b g'(y) \, dy \right) dz \, dx = ac \left( g(b) - g(0) \right). \]
• Для \( h'(z) \): \[ \iiint\limits_{V} h'(z) \, dx \, dy \, dz = \int_0^a \int_0^b \left( \int_0^c h'(z) \, dz \right) dy \, dx = ab \left( h(c) - h(0) \right). \]

Шаг 3. Собираем результат.

Складываем полученные результаты: \[ \iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = bc \left( f(a) - f(0) \right) + ac \left( g(b) - g(0) \right) + ab \left( h(c) - h(0) \right). \] Это и будет искомое значение поверхностного интеграла второго рода для данной поверхности параллелепипеда.

Окончательный ответ:

\[ \boxed{ bc (f(a) - f(0)) + ac (g(b) - g(0)) + ab (h(c) - h(0)) }. \]