Вычислить поверхностный интеграл второго рода

Предмет: Математика Раздел: Векторный анализ (поверхностные интегралы второго рода) Тип задачи: Вычисление поверхностного интеграла второго рода.

Пояснение

Поверхностный интеграл второго рода для векторного поля $\text{(}\mathbf{F}=(f(x),g(y),h(z))\text{)}$ через поверхность $\text{(}S\text{)}$ выражается как: $\text{[}\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\underset{S}{\iint }(f(x)d{S}_x+g(y)d{S}_y+h(z)d{S}_z),\text{]}$ где $\text{(}d{S}_x,d{S}_y,d{S}_z\text{)}$ — компоненты нормального вектора $\text{(}d\mathbf{S}\text{)}$. Однако, применим теорему Остроградского-Гаусса для упрощения расчёта поверхностного интеграла. Согласно ей: $\text{[}\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\underset{V}{\iiint }(\mathrm{div}\mathbf{F})dV,\text{]}$ где $\text{(}V\text{)}$ — объём, ограниченный поверхностью $\text{(}S\text{)}$, и $\text{(}\mathrm{div}\mathbf{F}\text{)}$ — дивергенция векторного поля $\text{(}\mathbf{F}\text{)}$.

Шаг 1. Вычисление дивергенции векторного поля.

Векторное поле $\text{(}\mathbf{F}=(f(x),g(y),h(z))\text{)}$ имеет дивергенцию, которая рассчитывается как: $\text{[}\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\mathrm{\partial }f(x)}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }g(y)}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }h(z)}{\mathrm{\partial }z}.\text{]}$ В нашем случае $\text{(}f(x),g(y),h(z)\text{)}$ — это функции переменных $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}y\text{)}$, $\text{(}z\text{)}$ соответственно. Тогда: $\text{[}\mathrm{div}\mathbf{F}=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(y)+h^{\prime }(z).\text{]}$

Шаг 2. Вычисление объёмного интеграла.

Теперь, используя теорему Остроградского-Гаусса, интеграл по поверхности преобразуется в интеграл по объёму, ограниченному параллелепипедом, с границами $\text{(}0\le x\le a\text{)}$, $\text{(}0\le y\le b\text{)}$, $\text{(}0\le z\le c\text{)}$. Таким образом, вычисляем объёмный интеграл: $\text{[}\underset{V}{\iiint }(f^{\prime }(x)+g^{\prime }(y)+h^{\prime }(z))dxdydz.\text{]}$ Проще всего этот интеграл разбить на три отдельных интеграла для каждого слагаемого: $\text{[}\underset{V}{\iiint }{f}^{\prime }(x)dxdydz+\underset{V}{\iiint }{g}^{\prime }(y)dxdydz+\underset{V}{\iiint }{h}^{\prime }(z)dxdydz.\text{]}$ Каждый из этих интегралов можно упростить. Рассмотрим их по очереди.

• Для $\text{(}{f}^{\prime }(x)\text{)}$: $\text{[}\underset{V}{\iiint }{f}^{\prime }(x)dxdydz={\int }_0^b{\int }_0^c({\int }_0^a{f}^{\prime }(x)dx)dzdy=bc(f(a)-f(0)).\text{]}$
• Для $\text{(}{g}^{\prime }(y)\text{)}$: $\text{[}\underset{V}{\iiint }{g}^{\prime }(y)dxdydz={\int }_0^a{\int }_0^c({\int }_0^b{g}^{\prime }(y)dy)dzdx=ac(g(b)-g(0)).\text{]}$
• Для $\text{(}{h}^{\prime }(z)\text{)}$: $\text{[}\underset{V}{\iiint }{h}^{\prime }(z)dxdydz={\int }_0^a{\int }_0^b({\int }_0^c{h}^{\prime }(z)dz)dydx=ab(h(c)-h(0)).\text{]}$

Шаг 3. Собираем результат.

Складываем полученные результаты: $\text{[}\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=bc(f(a)-f(0))+ac(g(b)-g(0))+ab(h(c)-h(0)).\text{]}$ Это и будет искомое значение поверхностного интеграла второго рода для данной поверхности параллелепипеда.

Окончательный ответ:

$\text{[}\boxed{{\displaystyle bc(f(a)-f(0))+ac(g(b)-g(0))+ab(h(c)-h(0))}}.\text{]}$