Вычислить первый столбец обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Обратные матрицы и метод Гаусса

Задача: Вычислить первый столбец обратной матрицы \( A^{-1} \) с помощью метода Гаусса.

Дана матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Подготовка

Чтобы найти обратную матрицу, используем метод Гаусса (метод гауссовой элиминации), применяя начальную матрицу \( A \) и единичную матрицу \( I \) того же порядка. Мы будем преобразовывать \( A \) в единичную матрицу, параллельно преобразовывая \( I \) в её обратную матрицу \( A^{-1} \).

Изначальная расширенная матрица для метода Гаусса:

\[ \left( A \mid I \right) = \left( \begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Шаг 2: Приведение матрицы \( A \) к верхнетреугольной форме

Начнем с первого столбца. Сделаем элемент в первой строке (левый верхний угол) равным 1, разделим первую строку на \(-1\):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad \longrightarrow \quad \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -3 & -1 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Теперь обнулим элементы под первым ведущим элементом (первый столбец, вторая и третья строки):

• Для второй строки: прибавим 3 первых строки к ней.
• Для третьей строки: прибавим 2 первых строки к ней.

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -3 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & -10 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Шаг 3: Приведение второй строки

Теперь нужно сделать второй ведущий элемент (второй столбец, вторая строка) равным 1. Для этого разделим вторую строку на \(-8\):

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & -3 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Теперь обнулим элементы над и под вторым ведущим элементом в первом и третьем столбцах:

• Для первой строки: прибавим 2 вторых строки к ней (чтобы обнулить элемент в первом столбце).
• Для третьей строки: прибавим 2 вторых строки к ней.

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & 1 \end{array} \right) \]

Шаг 4: Приведение третьего столбца

Третья строка уже подходит. Сделаем элемент в третьем столбце третьей строки равным 1, для чего умножим её на 2:

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 2 \end{array} \right) \]

Теперь, используя третью строку, обнуляем элементы над третьим ведущим элементом:

• Для первой строки: прибавляем \( \frac{1}{2} \) третьей строки.
• Для второй строки: вычитаем \( \frac{5}{4} \) третьей строки.

\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{8} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 2 \end{array} \right) \]

Шаг 5: Ответ

Вычисленная обратная матрица:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{8} & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix} \]

Первый столбец обратной матрицы:

\[ \begin{pmatrix} \frac{3}{8} \\ 0 \\ \frac{1}{4} \end{pmatrix} \]

Для ответа в десятичных дробях с тремя значащими цифрами запишем: