Вычислить определитель матрицы третьего порядка

Условие:

Вычислить определитель

Решение:

Этот пример относится к разделу "определители" предмета "линейная алгебра". Необходимо вычислить определитель матрицы третьего порядка. Для вычисления определителя \(|A|\) матрицы \(A\) размера \(3 \times 3\), используем следующую формулу: \[ \text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \] Матрица: \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} \] Обозначаем элементы матрицы: \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \] Подставляем значения в формулу: \[ \text{det}(A) = 2((2 \cdot -1) - (2 \cdot 2)) - 3((1 \cdot -1) - (2 \cdot 3)) + 2((1 \cdot 2) - (2 \cdot 3)) \] Выполним каждую операцию отдельно: \[ \text{det}(A) = 2((-2) - 4) - 3((-1) - 6) + 2((2) - 6) \] Упрощаем выражения в скобках: \[ \text{det}(A) = 2(-6) - 3(-7) + 2(-4) \] Выполняем все умножения: \[ \text{det}(A) = 2 \cdot (-6) + 3 \cdot 7 + 2 \cdot (-4) \] \[ \text{det}(A) = -12 + 21 - 8 \] Суммируем все значения: \[ \text{det}(A) = -12 + 21 - 8 = 1 \] Итак, определитель данной матрицы равен \(1\). **Ответ**: \(|A| = 1\).