Вычислить определитель матрицы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Определители и алгебраические дополнения

Для нахождения алгебраического дополнения A_{21} определителя матрицы, необходимо:

1. Удалить строку 2 и столбец 1 из матрицы, чтобы получить минор M_{21}.
2. Вычислить определитель минора.
3. Учесть знак алгебраического дополнения, который определяется по формуле (-1)^{i+j}, где i — номер строки, а j — номер столбца.

Дана матрица:
 \begin{vmatrix} 5 & -1 & -1 \ 1 & 3 & 2 \ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} 

Шаг 1: Построение минора M_{21}

Удаляем 2-ю строку и 1-й столбец. Получаем минор:
 \begin{vmatrix} -1 & -1 \ 1 & -3 \end{vmatrix} 

Шаг 2: Вычисление определителя минора

Определитель 2×2 вычисляется по формуле:
 \text{det} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} 

Подставляем значения:
 \text{det} = (-1)(-3) - (-1)(1) = 3 + 1 = 4 

Шаг 3: Учет знака алгебраического дополнения

Для A_{21} знак определяется как:
 (-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1 

Алгебраическое дополнение:
 A_{21} = (-1) \cdot 4 = -4 

Ответ:

A_{21} = -4, правильный вариант — 2).