Вычислить определитель (детерминант) матрицы 3x3 и использовать при этом свойства определителей

Определение предмета: Это задание по предмету "Линейная алгебра", а конкретно — по разделу "Определители матриц" (determinants).

Задача:

Вам необходимо вычислить определитель (детерминант) матрицы 3x3 и использовать при этом свойства определителей. Приведенная матрица выглядит так: \[ \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix} \]

Решение:

Определитель 3x3 вычисляется по формуле: \[ \det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \]
Где \(a_{ij}\) — элемент матрицы на позиции \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца. Теперь применим эту формулу к нашей матрице.

Пошаговый расчет:

1. Берем элементы первой строки: \(a_{11} = 1\), \(a_{12} = 5\), \(a_{13} = -4\).
2. Рассчитываем малые определители:
   • \[ a_{11} \cdot \det \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-3 \cdot (-3) - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (9 - 1) = 1 \cdot 8 = 8 \]
   • \[ a_{12} \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} = 5 \cdot (2 \cdot (-3) - 1 \cdot 4) = 5 \cdot (-6 - 4) = 5 \cdot (-10) = -50 \]
   • \[ a_{13} \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -4 \cdot (2 \cdot 1 - (-3) \cdot 4) = -4 \cdot (2 + 12) = -4 \cdot 14 = -56 \]
3. Складываем эти значения для финального результата: \[ \det(A) = 8 - (-50) - 56 = 8 + 50 - 56 = 2 \]

Ответ:

Определитель матрицы равен 2. Таким образом, \(\det(A) = 2\).