Вычислить объём пирамиды с вершинами в пространстве, задаваемыми координатами

Данный предмет — линейная алгебра, поскольку в задаче требуется вычислить объём пирамиды с вершинами в пространстве, задаваемыми координатами (понятие векторного произведения и детерминанты часто встречаются здесь).

Что известно:

Вершины пирамиды заданы точками \( A(-1; 2; 1) \), \( B(-2; 2; 5) \), \( C(-3; 3; 1) \) и \( D(-1; 4; 3) \).

Для того чтобы вычислить объём пирамиды с вершинами \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), нужно использовать формулу для объёма пирамиды через векторное произведение:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \right| \]

Где:

• \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \), \( \vec{AD} \) — это вектора, заданные через координаты точек пирамиды;
• \( \cdot \) — скалярное произведение;
• \( \times \) — векторное произведение.

1. Найдём координаты векторов \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \), \( \vec{AD} \):

\[ \vec{AB} = B - A = (-2 - (-1); 2 - 2; 5 - 1) = (-1; 0; 4) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (-3 - (-1); 3 - 2; 1 - 1) = (-2; 1; 0) \]

\[ \vec{AD} = D - A = (-1 - (-1); 4 - 2; 3 - 1) = (0; 2; 2) \]

2. Вычислим векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{AD} \).

Чтобы найти векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{AD} \), используем следующую формулу:

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} \]

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \hat{i} \cdot (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \hat{j} \cdot (-2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \hat{k} \cdot (-2 \cdot 2 - 1 \cdot 0) \]

\[ = \hat{i} \cdot 2 - \hat{j} \cdot (-4) + \hat{k} \cdot (-4) \]

\[ = (2; 4; -4) \]

3. Теперь найдём скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \):

\[ \vec{AB} \cdot (2; 4; -4) = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 4 \cdot (-4) = -2 + 0 - 16 = -18 \]

4. Вычислим объём пирамиды:

\[ V = \frac{1}{6} \left| -18 \right| = \frac{1}{6} \cdot 18 = 3 \]

Ответ:

Объём пирамиды равен \( 3 \).

Рассчитаем детерминант: