Вычислить обратные матрицы для каждой из данных матриц

Предмет: Линейная алгебра
Раздел предмета: Матрицы и определители

Для решения задачи необходимо вычислить обратные матрицы ( A^{-1} ) для каждой из данных матриц ( A ), а затем сопоставить их с предложенными вариантами.

Шаг 1. Формула для обратной матрицы

Обратная матрица для матрицы ( A ) второго порядка вычисляется по формуле:
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A),
где:

• ( \text{det}(A) ) — определитель матрицы ( A ),
• ( \text{adj}(A) ) — присоединённая матрица, которая находится путём транспонирования матрицы алгебраических дополнений.

Шаг 2. Вычисление обратных матриц для каждой матрицы ( A )

1. Матрица ( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 4 & 3 \end{pmatrix} ):

1.1. Вычисляем определитель:
\text{det}(A) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 4 = 6 + 4 = 10.

1.2. Находим матрицу алгебраических дополнений:
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -4 & 2 \end{pmatrix}.

1.3. Обратная матрица:
A^{-1} = \frac{1}{10} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.1 \ -0.4 & 0.2 \end{pmatrix}.

Соответствие: ( A \to \text{а} ).

2. Матрица ( A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \ 7 & -1 \end{pmatrix} ):

2.1. Вычисляем определитель:
\text{det}(A) = 9 \cdot (-1) - (-2) \cdot 7 = -9 + 14 = 5.

2.2. Находим матрицу алгебраических дополнений:
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \ -7 & 9 \end{pmatrix}.

2.3. Обратная матрица:
A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \ -7 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.2 & 0.4 \ -1.4 & 1.8 \end{pmatrix}.

Соответствие: ( B \to \text{б} ).

3. Матрица ( A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \ -5 & 6 \end{pmatrix} ):

3.1. Вычисляем определитель:
\text{det}(A) = (-3) \cdot 6 - 4 \cdot (-5) = -18 + 20 = 2.

3.2. Находим матрицу алгебраических дополнений:
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & -4 \ 5 & -3 \end{pmatrix}.

3.3. Обратная матрица:
A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -4 \ 5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 2.5 & -1.5 \end{pmatrix}.

Соответствие: ( C \to \text{в} ).

Шаг 3. Итоговое соответствие

Сопоставляем результаты:

• ( A \to \text{а} ),
• ( B \to \text{б} ),
• ( C \to \text{в} ).

Правильный ответ: ( 5 ).