Вычислить объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань

Условие:

Точки А1, А2, А3, А4 являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

**Предмет**: Аналитическая геометрия. **Раздел**: Объём и площади многоугольников и тел в пространстве, векторы. ## Условие: Даны координаты вершин пирамиды: - \( A_1(4; -1; 3) \) - \( A_2(-2; 1; 0) \) - \( A_3(0; -5; 1) \) - \( A_4(3; 2; -6) \) Необходимо найти: 1. Площадь грани \( A_1A_2A_3 \). 2. Высоту пирамиды, проведённую к грани \( A_1A_2A_3 \). 3. Объём пирамиды. --- ### Шаг 1: Площадь грани \( A_1A_2A_3 \) Для нахождения площади треугольника с вершинами \( A_1, A_2, A_3 \) используем векторное произведение. 1. Обозначим вектора: \[ \overrightarrow{A_1A_2} = \vec{v_1} = (-2 - 4; 1 - (-1); 0 - 3) = (-6; 2; -3) \] \[ \overrightarrow{A_1A_3} = \vec{v_2} = (0 - 4; -5 - (-1); 1 - 3) = (-4; -4; -2) \] 2. Найдём векторное произведение \( \vec{v_1} \times \vec{v_2} \): \[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i} \cdot [(2)(-2) - (-3)(-4)] - \vec{j} \cdot [(-6)(-2) - (-3)(-4)] + \vec{k} \cdot [(-6)(-4) - 2(-4)] \] \[ = \vec{i}(-4 - 12) - \vec{j}(12 - 12) + \vec{k}(24 + 8) \] \[ = -16\vec{i} + 0\vec{j} + 32\vec{k} \] То есть: \[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-16; 0; 32) \] 3. Модуль векторного произведения будет равен: \[ |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-16)^2 + 0^2 + 32^2} = \sqrt{256 + 1024} = \sqrt{1280} \approx 35.78 \] 4. Площадь треугольника \( A_1A_2A_3 \): \[ S = \frac{1}{2} |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{1}{2} \cdot 35.78 \approx 17.89 \] ### Шаг 2: Высота пирамиды, проведённая на грань \( A_1A_2A_3 \) Высоту пирамиды найдём как расстояние от точки \( A_4(3, 2, -6) \) до плоскости, содержащей треугольник \( A_1A_2A_3 \). 1. Уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \). Уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно записать как: \[ (x - x_1)\cdot A + (y - y_1)\cdot B + (z - z_1)\cdot C = 0, \] где \( A, B, C \) — координаты нормального вектора \( \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} \). Нормальный вектор у нас уже найден: \[ \vec{n} = (-16, 0, 32) \] Подставим точку \( A_1(4, -1, 3) \) в уравнение плоскости: \[ -16(x - 4) + 0(y + 1) + 32(z - 3) = 0 \] Раскроем скобки: \[ -16x + 64 + 32z - 96 = 0 \Rightarrow -16x + 32z - 32 = 0 \] Упростим: \[ -x + 2z - 2 = 0 \Rightarrow x - 2z + 2 = 0 \] 2. Расстояние от точки \( A_4(3, 2, -6) \) до плоскости. Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Подставим \( A = 1, B = 0, C = -2, D = 2 \) и координаты точки \( A_4(3, 2, -6) \): \[ d = \frac{|1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-6) + 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 12 + 2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{17}{\sqrt{5}} \approx 7.6 \] Итак, высота \( h \approx 7.6 \). ### Шаг 3: Объём пирамиды Формула объёма пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S \cdot h \] Зная площадь основания \( S \approx 17.89 \) и высоту \( h \approx 7.6 \): \[ V = \frac{1}{3} \cdot 17.89 \cdot 7.6 \approx 45.36 \] --- ## Ответ: 1. Площадь грани \( A_1A_2A_3 \): \( \approx 17.89 \) квадратных единиц. 2. Высота пирамиды: \( \approx 7.6 \) единиц. 3. Объём пирамиды: \( \approx 45.36 \) кубических единиц.