Вычислить объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань

Предмет: Аналитическая геометрия.

Раздел: Объём и площади многоугольников и тел в пространстве, векторы.

Условие:

Даны координаты вершин пирамиды:

• \( A_1(4; -1; 3) \)
• \( A_2(-2; 1; 0) \)
• \( A_3(0; -5; 1) \)
• \( A_4(3; 2; -6) \)

Необходимо найти:

1. Площадь грани \( A_1A_2A_3 \).
2. Высоту пирамиды, проведённую к грани \( A_1A_2A_3 \).
3. Объём пирамиды.

Шаг 1: Площадь грани \( A_1A_2A_3 \)

Для нахождения площади треугольника с вершинами \( A_1, A_2, A_3 \) используем векторное произведение.

1. Обозначим вектора:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = \vec{v_1} = (-2 - 4; 1 - (-1); 0 - 3) = (-6; 2; -3) \\ \overrightarrow{A_1A_3} = \vec{v_2} = (0 - 4; -5 - (-1); 1 - 3) = (-4; -4; -2) \]

2. Найдём векторное произведение \( \vec{v_1} \times \vec{v_2} \):

\[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i} \cdot [(2)(-2) - (-3)(-4)] - \vec{j} \cdot [(-6)(-2) - (-3)(-4)] + \vec{k} \cdot [(-6)(-4) - 2(-4)] \\ = \vec{i}(-4 - 12) - \vec{j}(12 - 12) + \vec{k}(24 + 8) \\ = -16\vec{i} + 0\vec{j} + 32\vec{k} \]

То есть: \[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-16; 0; 32) \]

3. Модуль векторного произведения будет равен:

\[ |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-16)^2 + 0^2 + 32^2} = \sqrt{256 + 1024} = \sqrt{1280} \approx 35.78 \]

4. Площадь треугольника \( A_1A_2A_3 \):

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \frac{1}{2} \cdot 35.78 \approx 17.89 \]

Шаг 2: Высота пирамиды, проведённая на грань \( A_1A_2A_3 \)

Высоту пирамиды найдём как расстояние от точки \( A_4(3, 2, -6) \) до плоскости, содержащей треугольник \( A_1A_2A_3 \).

1. Уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \). Уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно записать как:

\[ (x - x_1)\cdot A + (y - y_1)\cdot B + (z - z_1)\cdot C = 0, \] где \( A, B, C \) — координаты нормального вектора \( \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} \). Нормальный вектор у нас уже найден:

\[ \vec{n} = (-16, 0, 32) \]

Подставим точку \( A_1(4, -1, 3) \) в уравнение плоскости:

\[ -16(x - 4) + 0(y + 1) + 32(z - 3) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ -16x + 64 + 32z - 96 = 0 \Rightarrow -16x + 32z - 32 = 0 \]

\[ -x + 2z - 2 = 0 \Rightarrow x - 2z + 2 = 0 \]

2. Расстояние от точки \( A_4(3, 2, -6) \) до плоскости. Формула для нахождения расстояния от точки до плоскости:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Упростим: