Вычислить объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань

Предмет: Аналитическая геометрия (раздел: Геометрия на плоскости и в пространстве).

Задача:

Нам даны четыре точки \( A_1(5, 2, 0) \), \( A_2(2, 5, 0) \), \( A_3(1, 2, 4) \), \( A_4(-1, 1, 1) \), и необходимо вычислить:

• объем пирамиды \( A_1A_2A_3A_4 \),
• площадь грани \( A_1A_2A_3 \),
• высоту пирамиды, опущенную на грань \( A_1A_2A_3 \).

Шаг 1: Площадь грани \( A_1A_2A_3 \)

Сначала найдем площадь грани \( A_1A_2A_3 \). Это треугольная грань в пространстве, и мы можем воспользоваться векторным методом.

1. Найдем векторы \(\overrightarrow{A_1A_2}\) и \(\overrightarrow{A_1A_3}\):

\(\overrightarrow{A_1A_2} = (2-5, 5-2, 0-0) = (-3, 3, 0),\)

\(\overrightarrow{A_1A_3} = (1-5, 2-2, 4-0) = (-4, 0, 4).\)

2. Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}\), что дает нормальный вектор для плоскости, а длина этого вектора равна удвоенной площади треугольника \( A_1A_2A_3 \):

\(\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 12, 12).\)

3. Длина этого вектора:

\(|\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{12^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}.\)

Площадь треугольника: \( S_{\text{A1A2A3}} = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}. \)

Шаг 2: Объем пирамиды

Для нахождения объема пирамиды используется следующая формула:

\( V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (\overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4}) \right|. \)

1. Сначала найдем вектор \(\overrightarrow{A_1A_4}\):

\(\overrightarrow{A_1A_4} = (-1-5, 1-2, 1-0) = (-6, -1, 1). \)

2. Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4}\):

\(\overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 0 & 4 \\ -6 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (4, -28, 4). \)

3. Теперь находим скалярное произведение \(\overrightarrow{A_1A_2} \cdot (4, -28, 4) = (-3 \times 4) + (3 \times -28) + (0 \times 4) = -12 - 84 + 0 = -96.\)
4. Объем пирамиды: \( V = \frac{1}{6} \times | -96 | = \frac{96}{6} = 16. \)

Шаг 3: Высота пирамиды

Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из точки \( A_4(-1, 1, 1) \) на плоскость \( A_1A_2A_3 \).

1. Уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \) имеет вид:

\( 12(x - 5) + 12(y - 2) + 12(z - 0) = 0. \)

Упростим уравнение: \( x + y + z = 7. \)

2. Подставим координаты точки \( A_4(-1, 1, 1) \) в уравнение плоскости и найдем расстояние до этой плоскости. Формула для расстояния от точки до плоскости:

\( d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \) где \( A = 1, B = 1, C = 1, D = -7 \), а точка \( A_4(-1, 1, 1) \).

\( d = \frac{|1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 7|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \)

Ответ:

• Площадь грани \( A_1A_2A_3 \): \( 6\sqrt{3} \).
• Объем пирамиды: \( 16 \).
• Высота пирамиды: \( 2\sqrt{3} \).

Таким образом, высота пирамиды \( h = 2\sqrt{3} \).