Вычислить объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань

Условие:

Точки А1, А2, А3, А4 являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань

Решение:

Предмет: Аналитическая геометрия (раздел: Геометрия на плоскости и в пространстве). ### Задача: Нам даны четыре точки \( A_1(5, 2, 0) \), \( A_2(2, 5, 0) \), \( A_3(1, 2, 4) \), \( A_4(-1, 1, 1) \), и необходимо вычислить: - объем пирамиды \( A_1A_2A_3A_4 \), - площадь грани \( A_1A_2A_3 \), - высоту пирамиды, опущенную на грань \( A_1A_2A_3 \). ### Шаг 1: Площадь грани \( A_1A_2A_3 \) Сначала найдем площадь грани \( A_1A_2A_3 \). Это треугольная грань в пространстве, и мы можем воспользоваться векторным методом. 1. Найдем векторы \( \overrightarrow{A_1A_2} \) и \( \overrightarrow{A_1A_3} \): \[ \overrightarrow{A_1A_2} = (2-5, 5-2, 0-0) = (-3, 3, 0), \] \[ \overrightarrow{A_1A_3} = (1-5, 2-2, 4-0) = (-4, 0, 4). \] 2. Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} \), что дает нормальный вектор для плоскости, а длина этого вектора равна удвоенной площади треугольника \( A_1A_2A_3 \): \[ \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 12, 12). \] 3. Длина этого вектора: \[ |\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}| = \sqrt{12^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}. \] Площадь треугольника: \[ S_{\text{A1A2A3}} = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3}. \] ### Шаг 2: Объем пирамиды Для нахождения объема пирамиды используется следующая формула: \[ V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (\overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4}) \right|. \] 1. Сначала найдем вектор \( \overrightarrow{A_1A_4} \): \[ \overrightarrow{A_1A_4} = (-1-5, 1-2, 1-0) = (-6, -1, 1). \] 2. Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} \): \[ \overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 0 & 4 \\ -6 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (4, -28, 4). \] 3. Теперь находим скалярное произведение \( \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (\overrightarrow{A_1A_3} \times \overrightarrow{A_1A_4}) \): \[ \overrightarrow{A_1A_2} \cdot (4, -28, 4) = (-3 \times 4) + (3 \times -28) + (0 \times 4) = -12 - 84 + 0 = -96. \] 4. Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{6} \times | -96 | = \frac{96}{6} = 16. \] ### Шаг 3: Высота пирамиды Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из точки \( A_4(-1, 1, 1) \) на плоскость \( A_1A_2A_3 \). 1. Уравнение плоскости \( A_1A_2A_3 \) имеет вид: \[ 12(x - 5) + 12(y - 2) + 12(z - 0) = 0. \] Упростим уравнение: \[ x + y + z = 7. \] 2. Подставим координаты точки \( A_4(-1, 1, 1) \) в уравнение плоскости и найдем расстояние до этой плоскости. Формула для расстояния от точки до плоскости: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \] где \( A = 1, B = 1, C = 1, D = -7 \), а точка \( A_4(-1, 1, 1) \). \[ d = \frac{|1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 7|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 1 + 1 - 7|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \] Таким образом, высота пирамиды \( h = 2\sqrt{3} \). ### Ответ: - Площадь грани \( A_1A_2A_3 \): \( 6\sqrt{3} \). - Объем пирамиды: \( 16 \). - Высота пирамиды: \( 2\sqrt{3} \).