Вычислить объем четырехугольной пирамиды, построенной на векторах

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Векторная алгебра

Для нахождения объема пирамиды, построенной на векторах \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), нужно вычислить смешанное произведение этих векторов. Формула для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \]

Где:

• \(\vec{b} \times \vec{c}\) — векторное произведение векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\),
• \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) — скалярное произведение вектора \(\vec{a}\) с результатом векторного произведения.

Сначала вычислим векторное произведение \(\vec{b} \times \vec{c}\):

Векторы заданы:

\[ \vec{a} = 3\vec{i} + \vec{j} + 4\vec{k}, \quad \vec{b} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}, \quad \vec{c} = -4\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}. \]

Векторное произведение \(\vec{b} \times \vec{c}\) вычисляется через определитель:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 5 \\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}. \]

Разложим определитель:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 5 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}. \]

Вычислим каждый минор:

1. \(\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 2 & -2\end{vmatrix} = (-3)(-2) - (5)(2) = 6 - 10 = -4\).
2. \(\begin{vmatrix}2 & 5 \\ -4 & -2\end{vmatrix} = (2)(-2) - (5)(-4) = -4 + 20 = 16\).
3. \(\begin{vmatrix}2 & -3 \\ -4 & 2\end{vmatrix} = (2)(2) - (-3)(-4) = 4 - 12 = -8\).

Теперь соберем результат:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = -4\vec{i} - 16\vec{j} - 8\vec{k}. \]

Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\):

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (3\vec{i} + \vec{j} + 4\vec{k}) \cdot (-4\vec{i} - 16\vec{j} - 8\vec{k}). \]

Выполним поэлементное произведение:

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 3(-4) + 1(-16) + 4(-8) = -12 - 16 - 32 = -60. \]

Модуль (по величине):

\[ |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = | -60 | = 60. \]

Найдем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{6} \cdot 60 = 10. \]

Ответ:

Объем пирамиды равен \(V = 10\).