Вычислить круги Гершгорина для данной матрицы и найти центр второго круга и радиус

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Теоремы о собственных значениях и кругах Гершгорина

Задание:

Необходимо вычислить круги Гершгорина для данной матрицы и найти центр второго круга и радиус $\text{(}{r}_2\text{)}$.

Дана матрица: $\text{[}C=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -1\\ -8& -4& 1\\ 5& 7& 6\end{array}\right)\text{]}$

Описание Гершгориновых кругов

Гершгоринов круг — это окружность в комплексной плоскости, центр которой совпадает с элементом на диагонали матрицы, а радиус — это сумма модулей остальных элементов строки, в которой находится этот диагональный элемент.

Круг для строки $\text{(}i\text{)}$ можно записать как: $\text{[}{C}_i=(a_{ii},r_i),\text{]}$ где:

• $\text{(}{a}_{ii}\text{)}$ — диагональный элемент в строке $\text{(}i\text{)}$,
• $\text{(}{r}_i=\sum _{j\ne i}|a_{ij}|\text{)}$ — радиус круга, равный сумме модулей недиагональных элементов строки.

Шаги решения:

1. Вычислим центр и радиус для первой строки.

   Матрица в первой строке: $\text{(}(4,1,-1)\text{)}$.

   • Центр первого круга $\text{(}{c}_1=a_{11}=4\text{)}$.
   • Радиус $\text{(}{r}_1=|1|+|-1|=1+1=2\text{)}$.

   Таким образом, первый круг: $\text{(}{C}_1=(4,2)\text{)}$.

2. Вычислим центр и радиус для второй строки.

   Строка матрицы: $\text{(}(-8,-4,1)\text{)}$.

   • Центр второго круга $\text{(}{c}_2=a_{22}=-4\text{)}$.
   • Радиус $\text{(}{r}_2=|-8|+|1|=8+1=9\text{)}$.

   Таким образом, второй круг: $\text{(}{C}_2=(-4,9)\text{)}$.

3. Вычислим центр и радиус для третьей строки.

   Строка матрицы: $\text{(}(5,7,6)\text{)}$.

   • Центр третьего круга $\text{(}{c}_3=a_{33}=6\text{)}$.
   • Радиус $\text{(}{r}_3=|5|+|7|=5+7=12\text{)}$.

   Таким образом, третий круг: $\text{(}{C}_3=(6,12)\text{)}$.

Ответ:

Центр второго круга: $\text{(}-4\text{)}$, Радиус второго круга: $9$.

Ответ: $-4$ $9$.