Вычислить круги Гершгорина для данной матрицы и найти центр второго круга и радиус

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Теоремы о собственных значениях и кругах Гершгорина

Задание:

Необходимо вычислить круги Гершгорина для данной матрицы и найти центр второго круга и радиус \( r_2 \).

Дана матрица: \[ C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -8 & -4 & 1 \\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix} \]

Описание Гершгориновых кругов

Гершгоринов круг — это окружность в комплексной плоскости, центр которой совпадает с элементом на диагонали матрицы, а радиус — это сумма модулей остальных элементов строки, в которой находится этот диагональный элемент.

Круг для строки \( i \) можно записать как: \[ C_i = (a_{ii}, r_i), \] где:

• \( a_{ii} \) — диагональный элемент в строке \( i \),
• \( r_i = \sum_{j \neq i} |a_{ij}| \) — радиус круга, равный сумме модулей недиагональных элементов строки.

Шаги решения:

1. Вычислим центр и радиус для первой строки.

   Матрица в первой строке: \( (4, 1, -1) \).

   • Центр первого круга \( c_1 = a_{11} = 4 \).
   • Радиус \( r_1 = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2 \).

   Таким образом, первый круг: \( C_1 = (4, 2) \).

2. Вычислим центр и радиус для второй строки.

   Строка матрицы: \( (-8, -4, 1) \).

   • Центр второго круга \( c_2 = a_{22} = -4 \).
   • Радиус \( r_2 = |-8| + |1| = 8 + 1 = 9 \).

   Таким образом, второй круг: \( C_2 = (-4, 9) \).

3. Вычислим центр и радиус для третьей строки.

   Строка матрицы: \( (5, 7, 6) \).

   • Центр третьего круга \( c_3 = a_{33} = 6 \).
   • Радиус \( r_3 = |5| + |7| = 5 + 7 = 12 \).

   Таким образом, третий круг: \( C_3 = (6, 12) \).

Ответ:

Центр второго круга: \( -4 \), Радиус второго круга: 9.

Ответ: -4 9.