Вычислить круги Гершгорина

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Собственные значения и круги Гершгорина

Задача:

Для матрицы

 C = \begin{pmatrix} 1 & -9 & -6 \ 3 & 3 & -8 \ 5 & -8 & 8 \end{pmatrix} 

вычислить круги Гершгорина.
В ответ записать центр третьего круга и радиус r_3, сохраняя две значащие цифры. Десятичную дробь разделять точкой.

Решение:

Круги Гершгорина определяются следующим образом:
Для каждой строки матрицы C центр круга — это диагональный элемент строки, а радиус — сумма модулей остальных элементов строки.

Матрица C дана как:
 C = \begin{pmatrix} 1 & -9 & -6 \ 3 & 3 & -8 \ 5 & -8 & 8 \end{pmatrix} 

1. Первая строка:

   • Центр: c_1 = 1 (диагональный элемент a_{11})
   • Радиус: r_1 = |a_{12}| + |a_{13}| = |-9| + |-6| = 9 + 6 = 15
   • Круг: K_1 = \{z \in \mathbb{C} : |z - 1| \leq 15\}

2. Вторая строка:

   • Центр: c_2 = 3 (диагональный элемент a_{22})
   • Радиус: r_2 = |a_{21}| + |a_{23}| = |3| + |-8| = 3 + 8 = 11
   • Круг: K_2 = \{z \in \mathbb{C} : |z - 3| \leq 11\}

3. Третья строка:

   • Центр: c_3 = 8 (диагональный элемент a_{33})
   • Радиус: r_3 = |a_{31}| + |a_{32}| = |5| + |-8| = 5 + 8 = 13
   • Круг: K_3 = \{z \in \mathbb{C} : |z - 8| \leq 13\}

Ответ:
Центр третьего круга: 8
Радиус третьего круга: 13.00