Вычислить интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

В данном задании нужно вычислить определённый интеграл: \(6 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^5{x}}{\cos^2{x}} \, dx\)

Рассмотрим подробно каждый шаг решения.

1. Упростим подынтегральное выражение. Мы знаем, что: \(\frac{\tan^5{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\sin^5{x}/\cos^5{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\sin^5{x}}{\cos^7{x}} = \tan^5{x} \sec^2{x}.\) Таким образом, наш интеграл перепишется следующим образом: \(6 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan^5{x} \sec^2{x} \, dx.\)
2. Используем замену переменной \(u = \tan{x}\). Тогда \(du = \sec^2{x} \, dx\), и пределы интегрирования также изменятся:
   • Когда \(x = \frac{\pi}{4}\), \(u = \tan{\frac{\pi}{4}} = 1\).
   • Когда \(x = \frac{\pi}{3}\), \(u = \tan{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3}\).
   Теперь интеграл примет вид: \(6 \int_{1}^{\sqrt{3}} u^5 \, du.\)
3. Вычислим этот интеграл: \(\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C.\) Применив пределы интегрирования, получаем: \(6 \left[\frac{u^6}{6}\right]_{1}^{\sqrt{3}} = \left[u^6\right]_{1}^{\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^6 - 1^6.\)
4. Вычисление значения: \((\sqrt{3})^6 - 1^6 = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26.\) Таким образом, ответ: \(\boxed{26}\)