Вычислить интеграл

Условие:

Вычислить интеграл

Решение:

Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление В данном задании нужно вычислить определённый интеграл: \[6 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^5{x}}{\cos^2{x}} \, dx\] Рассмотрим подробно каждый шаг решения. 1. Упростим подынтегральное выражение. Мы знаем, что: \[\frac{\tan^5{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\sin^5{x}/\cos^5{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\sin^5{x}}{\cos^7{x}} = \tan^5{x} \sec^2{x}.\] Таким образом, наш интеграл перепишется следующим образом: \[6 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan^5{x} \sec^2{x} \, dx.\] 2. Используем замену переменной \( u = \tan{x} \). Тогда \( du = \sec^2{x} \, dx \), и пределы интегрирования также изменятся: - Когда \( x = \frac{\pi}{4} \), \( u = \tan{\frac{\pi}{4}} = 1 \). - Когда \( x = \frac{\pi}{3} \), \( u = \tan{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3} \). Теперь интеграл примет вид: \[6 \int_{1}^{\sqrt{3}} u^5 \, du.\] 3. Вычислим этот интеграл: \[\int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C.\] Применив пределы интегрирования, получаем: \[ 6 \left[\frac{u^6}{6}\right]_{1}^{\sqrt{3}} = \left[u^6\right]_{1}^{\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^6 - 1^6. \] 4. Вычисление значения: \[ (\sqrt{3})^6 - 1^6 = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26. \] Таким образом, ответ: \[ \boxed{26} \]