Вычислить длины диагоналей параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма

Условие:

Параллелограмм построен на векторах a иb . Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь па- раллелограмма.

Решение:

### Предмет: Векторная алгебра (раздел математики). У нас есть параллелограмм, построенный на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), которые выражены через векторы \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{q}\). Задание состоит в нахождении длин диагоналей, угла между диагоналями и площади параллелограмма. ### Входные данные: \[ \mathbf{a} = 2\mathbf{p} - \mathbf{q}, \quad \mathbf{b} = \mathbf{p} + 3\mathbf{q} \] \[ |\mathbf{p}| = 3, \quad |\mathbf{q}| = 2, \quad (\mathbf{p} \perp \mathbf{q}) \Rightarrow (\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) = 0 \] 1. **Вычислим длины диагоналей**. Диагонали параллелограмма — это векторы \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\). #### Первая диагональ (\(\mathbf{d_1}\)): \[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2\mathbf{p} - \mathbf{q}) + (\mathbf{p} + 3\mathbf{q}) = 3\mathbf{p} + 2\mathbf{q} \] Теперь найдём длину этого вектора: \[ |\mathbf{d_1}| = \sqrt{(3\mathbf{p})^2 + (2\mathbf{q})^2} = \sqrt{9|\mathbf{p}|^2 + 4|\mathbf{q}|^2} \] Подставляем численные значения для \(|\mathbf{p}|\) и \(|\mathbf{q}|\): \[ |\mathbf{d_1}| = \sqrt{9 \cdot 9 + 4 \cdot 4} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \] #### Вторая диагональ (\(\mathbf{d_2}\)): \[ \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = (2\mathbf{p} - \mathbf{q}) - (\mathbf{p} + 3\mathbf{q}) = \mathbf{p} - 4\mathbf{q} \] Для вычисления длины: \[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + (-4\mathbf{q})^2} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + 16|\mathbf{q}|^2} \] Подставляя численные значения: \[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{9 + 16 \cdot 4} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \] 2. **Найдём угол между диагоналями**. Угол между векторами \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\) можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos \varphi = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{|\mathbf{d_1}| |\mathbf{d_2}|} \] Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\): \[ \mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}) \cdot (\mathbf{p} - 4\mathbf{q}) = 3|\mathbf{p}|^2 - 12|\mathbf{q}|^2 \] Подставляем значения: \[ \mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = 3 \cdot 9 - 12 \cdot 4 = 27 - 48 = -21 \] Теперь найдём косинус угла: \[ \cos \varphi = \frac{-21}{\sqrt{97} \cdot \sqrt{73}} \approx -0.248 \] Отсюда угол: \[ \varphi \approx \arccos(-0.248) \approx 104^\circ \] 3. **Площадь параллелограмма**. Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\): \[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta \] где \(\theta\) — угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Поскольку \(\mathbf{p} \perp \mathbf{q}\), найдём длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{|2\mathbf{p}|^2 + (-\mathbf{q})^2} = \sqrt{4|\mathbf{p}|^2 + |\mathbf{q}|^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \] \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + (3\mathbf{q})^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \] Так как \(\mathbf{p} \perp \mathbf{q}\), угол \(\theta = 90^\circ\), и \(\sin \theta = 1\), то площадь равна: \[ S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cdot \sin 90^\circ = \sqrt{40} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{1800} = 30 \] ### Ответ: - Длины диагоналей: \(\sqrt{97}\) и \(\sqrt{73}\), - Угол между диагоналями: приблизительно \(104^\circ\), - Площадь параллелограмма: 30.