Вычислить длины диагоналей параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма

Предмет: Векторная алгебра (раздел математики)

У нас есть параллелограмм, построенный на векторах \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), которые выражены через векторы \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{q}\). Задание состоит в нахождении длин диагоналей, угла между диагоналями и площади параллелограмма.

Входные данные:

\[\mathbf{a} = 2\mathbf{p} - \mathbf{q}, \quad \mathbf{b} = \mathbf{p} + 3\mathbf{q}\]

\[|\mathbf{p}| = 3, \quad |\mathbf{q}| = 2, \quad (\mathbf{p} \perp \mathbf{q}) \Rightarrow (\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) = 0\]

1. Вычислим длины диагоналей

Диагонали параллелограмма — это векторы \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\).

Первая диагональ (\(\mathbf{d_1}\)):

\[\mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2\mathbf{p} - \mathbf{q}) + (\mathbf{p} + 3\mathbf{q}) = 3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}\]

Теперь найдём длину этого вектора:

\[|\mathbf{d_1}| = \sqrt{(3\mathbf{p})^2 + (2\mathbf{q})^2} = \sqrt{9|\mathbf{p}|^2 + 4|\mathbf{q}|^2}\]

Подставляем численные значения для \(|\mathbf{p}|\) и \(|\mathbf{q}|\):

\[|\mathbf{d_1}| = \sqrt{9 \cdot 9 + 4 \cdot 4} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}\]

Вторая диагональ (\(\mathbf{d_2}\)):

\[\mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = (2\mathbf{p} - \mathbf{q}) - (\mathbf{p} + 3\mathbf{q}) = \mathbf{p} - 4\mathbf{q}\]

Для вычисления длины:

\[|\mathbf{d_2}| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + (-4\mathbf{q})^2} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + 16|\mathbf{q}|^2}\]

Подставляя численные значения:

\[|\mathbf{d_2}| = \sqrt{9 + 16 \cdot 4} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}\]

2. Найдём угол между диагоналями

Угол между векторами \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\) можно найти с помощью скалярного произведения:

\[\cos \varphi = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{|\mathbf{d_1}| |\mathbf{d_2}|}\]

Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{d_1}\) и \(\mathbf{d_2}\):

\[\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (3\mathbf{p} + 2\mathbf{q}) \cdot (\mathbf{p} - 4\mathbf{q}) = 3|\mathbf{p}|^2 - 12|\mathbf{q}|^2\]

Подставляем значения:

\[\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = 3 \cdot 9 - 12 \cdot 4 = 27 - 48 = -21\]

Теперь найдём косинус угла:

\[\cos \varphi = \frac{-21}{\sqrt{97} \cdot \sqrt{73}} \approx -0.248\]

Отсюда угол:

\[\varphi \approx \arccos(-0.248) \approx 104^\circ\]

3. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\]

где \(\theta\) — угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Поскольку \(\mathbf{p} \perp \mathbf{q}\), найдём длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[|\mathbf{a}| = \sqrt{|2\mathbf{p}|^2 + (-\mathbf{q})^2} = \sqrt{4|\mathbf{p}|^2 + |\mathbf{q}|^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}\]

\[|\mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + (3\mathbf{q})^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45}\]

Так как \(\mathbf{p} \perp \mathbf{q}\), угол \(\theta = 90^\circ\), и \(\sin \theta = 1\), то площадь равна:

\[S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cdot \sin 90^\circ = \sqrt{40} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{1800} = 30\]

Ответ:

• Длины диагоналей: \(\sqrt{97}\) и \(\sqrt{73}\),
• Угол между диагоналями: приблизительно \(104^\circ\),
• Площадь параллелограмма: 30.