Вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы в первой норме

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Численные характеристики матриц — число обусловленности

Задание:

Вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы
в первой норме (норме столбцов).

Дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \ -8 & -5 \end{pmatrix} 

Шаг 1: Определение числа обусловленности

Число обусловленности матрицы в норме \|\cdot\| определяется как:

 \kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| 

Где:

• \|A\| — норма матрицы,
• \|A^{-1}\| — норма обратной матрицы.

Шаг 2: Первая норма матрицы

Первая норма матрицы (норма по столбцам) вычисляется как максимальная сумма модулей элементов по столбцам:

 \|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{m} |a_{ij}| 

Для матрицы A:

 A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \ -8 & -5 \end{pmatrix} 

Считаем сумму модулей по каждому столбцу:

• 1-й столбец: |5| + |-8| = 13
• 2-й столбец: |3| + |-5| = 8

Значит:

 \|A\|_1 = \max(13, 8) = 13 

Шаг 3: Найдём обратную матрицу A^{-1}

Для 2×2 матрицы:

 A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} 

Применим к нашей матрице:

 \det(A) = (5)(-5) - (3)(-8) = -25 + 24 = -1 

 A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -5 & -3 \ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \ -8 & -5 \end{pmatrix} 

Интересно, что A^{-1} = -A

Шаг 4: Первая норма A^{-1}

Так как A^{-1} = -A, а норма зависит от модулей элементов, то:

 \|A^{-1}\|_1 = \|A\|_1 = 13 

Шаг 5: Абсолютное число обусловленности

 \kappa_1(A) = \|A\|_1 \cdot \|A^{-1}\|_1 = 13 \cdot 13 = 169 

Шаг 6: Максимальное относительное число обусловленности

Максимальное относительное число обусловленности совпадает с абсолютным для данной нормы:

 \kappa_{rel,\max} = \kappa_1(A) = 169 

Ответ:

169.00,169.00