Вычислить абсолютное число обусловленности матрицы в первой норме

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Матрицы и их численные характеристики (число обусловленности матрицы)

Задача:

Вычислить абсолютное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме.

Матрица \( A \) дана как:

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & 7 & -8 \\ -4 & 7 & 8 \\ 3 & -8 & 6 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Определение числа обусловленности в первой норме

Число обусловленности матрицы относительно нормы — это произведение нормы исходной матрицы и нормы её обратной матрицы. Формально:

\[ \kappa(A) = \| A \|_1 \cdot \| A^{-1} \|_1 \]

Где \( \| A \|_1 \) и \( \| A^{-1} \|_1 \) — это первая (столбцовая) норма для матриц \( A \) и \( A^{-1} \), соответственно.

Первая норма матрицы (столбцовая) определяется как наибольшая сумма абсолютных значений элементов колонок матрицы. То есть:

\[ \|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \]

Где \( a_{ij} \) — элементы матрицы \( A \).

Шаг 2: Рассчитаем первую норму \( A \)

Рассчитаем суммы абсолютных значений элементов по столбцам:

  • 1-й столбец: \( |8| + |-4| + |3| = 8 + 4 + 3 = 15 \).
  • 2-й столбец: \( |7| + |7| + |-8| = 7 + 7 + 8 = 22 \).
  • 3-й столбец: \( |-8| + |8| + |6| = 8 + 8 + 6 = 22 \).

Следовательно:

\[ \|A\|_1 = \max(15, 22, 22) = 22 \]

Шаг 3: Найдем обратную матрицу \( A^{-1} \)

Для этого воспользуемся стандартными методами нахождения обратной матрицы, например, через метод Гаусса или формулы для 3x3 матриц.

Обратная матрица \( A^{-1} \) имеет вид:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -2/91 & 25/91 & 10/91 \\ 18/91 & 31/91 & 6/91 \\ -10/91 & 21/91 & 2/91 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Рассчитаем первую норму для обратной матрицы \( A^{-1} \)

Теперь найдем первую норму для матрицы \( A^{-1} \):

  • 1-й столбец: \( |-2/91| + |18/91| + |-10/91| = 2/91 + 18/91 + 10/91 = 30/91 \approx 0.3297 \).
  • 2-й столбец: \( |25/91| + |31/91| + |21/91| = 25/91 + 31/91 + 21/91 = 77/91 \approx 0.8462 \).
  • 3-й столбец: \( |10/91| + |6/91| + |2/91| = 10/91 + 6/91 + 2/91 = 18/91 \approx 0.1978 \).

Следовательно:

\[ \|A^{-1}\|_1 = \max(0.3297, 0.8462, 0.1978) = 0.8462 \]

Шаг 5: Рассчитаем число обусловленности

Теперь находим число обусловленности в первой норме:

\[ \kappa(A) = \| A \|_1 \cdot \| A^{-1} \|_1 = 22 \cdot 0.8462 \approx 18.6 \]

Ответ:

\[ \kappa(A) \approx 18.6 \]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн