Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Вычислить абсолютное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме.
Матрица \( A \) дана как:
\[ A = \begin{pmatrix} 8 & 7 & -8 \\ -4 & 7 & 8 \\ 3 & -8 & 6 \end{pmatrix} \]
Число обусловленности матрицы относительно нормы — это произведение нормы исходной матрицы и нормы её обратной матрицы. Формально:
\[ \kappa(A) = \| A \|_1 \cdot \| A^{-1} \|_1 \]
Где \( \| A \|_1 \) и \( \| A^{-1} \|_1 \) — это первая (столбцовая) норма для матриц \( A \) и \( A^{-1} \), соответственно.
Первая норма матрицы (столбцовая) определяется как наибольшая сумма абсолютных значений элементов колонок матрицы. То есть:
\[ \|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}| \]
Где \( a_{ij} \) — элементы матрицы \( A \).
Рассчитаем суммы абсолютных значений элементов по столбцам:
Следовательно:
\[ \|A\|_1 = \max(15, 22, 22) = 22 \]
Для этого воспользуемся стандартными методами нахождения обратной матрицы, например, через метод Гаусса или формулы для 3x3 матриц.
Обратная матрица \( A^{-1} \) имеет вид:
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -2/91 & 25/91 & 10/91 \\ 18/91 & 31/91 & 6/91 \\ -10/91 & 21/91 & 2/91 \end{pmatrix} \]
Теперь найдем первую норму для матрицы \( A^{-1} \):
Следовательно:
\[ \|A^{-1}\|_1 = \max(0.3297, 0.8462, 0.1978) = 0.8462 \]
Теперь находим число обусловленности в первой норме:
\[ \kappa(A) = \| A \|_1 \cdot \| A^{-1} \|_1 = 22 \cdot 0.8462 \approx 18.6 \]
\[ \kappa(A) \approx 18.6 \]