Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями

Это задание по математике, раздел "Интегралы". Наша цель - найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 11 + \sin x\), \(y = 0\), \(x = -\pi\) и \(x = -\frac{\pi}{2}\).

1. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно вычислить определенный интеграл функции \( 11 + \sin x \) на отрезке от \(x = -\pi\) до \(x = -\frac{\pi}{2}\).
2. Вспомним определение площади под кривой. Площадь под кривой функции \(f(x)\) от \(x = a\) до \(x = b\) вычисляется как интеграл: \[\text{Площадь} = \int_a^b f(x)\, dx.\]
3. В нашем случае функция \(f(x) = 11 + \sin x\), \(a = -\pi\), \(b = -\frac{\pi}{2}\). Площадь под кривой выражается как: \[\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} (11 + \sin x)\, dx.\]
4. Разделим интеграл на два элемента для удобства: \[\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} 11\, dx + \int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} \sin x\, dx.\]
5. Решим первый интеграл: \[\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} 11\, dx = 11 \left[ x \right]_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} = 11 \left( -\frac{\pi}{2} - (-\pi) \right) = 11 \left( -\frac{\pi}{2} + \pi \right) = 11 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{2}.\]
6. Решим второй интеграл: \[\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} \sin x\, dx.\] Известно, что интеграл от \( \sin x \) равен \( -\cos x \). Поэтому: \[\left[ -\cos x \right]_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(-\pi)) = -0 - (-(-1)) = 0 + 1 = 1.\]
7. Теперь сложим результаты интегралов: \[ \frac{11\pi}{2} + 1. \] Таким образом, площадь фигуры равна: \(\boxed{\frac{11\pi}{2} + 1}\).